미적분도 선형 변환이다

미분방정식은 수학 전공이 아닌 자연 과학 대학생이나 공대생도 피해 갈 수 없는 과정이다. 미분방정식을 푸는 방법은 이미 정리를 하였다. 시간이 많다면 차근차근 읽어 보면 좋겠지만 이미 알고 있다고 전제하고 시작한다.

suhak.tistory.com/830

1차 선형 미분방정식의 풀이

조금 더 근본적으로 미분방정식을 살펴보려고 이글을 쓴다. 미분을 선형 변환으로 다루는 방법에 대한 정리라고 보면 된다. 선형 대수는 아래 글에 정리해 두었다.

suhak.tistory.com/1203

선형 대수는 수학 공부의 출발점

선형 변환의 정의

두 벡터 공간 $V, W$ 사이의 사상 $T: V\rightarrow W$가 아래를 만족하여 덧셈과 스칼라곱을 보존하면 $T$는 선형 사상이다.

$$T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),\quad T(a\mathbf{v})=aT(\mathbf{v})\quad (\mathbf{u,v}\in V, \;\;a\in F)$$

이때, $V=W$라면 $T$를 선형 변환(linear transformation) 또는 선형 연산자(linear operator)로 부른다.

편하게 쓰기 위해 $\displaystyle{\frac{d}{dt}}=D$로 쓰기로 하자.

$$Df(t)=\frac{df}{dt}$$

$f,g$가 미분 가능한 함수라고 하고 $a$는 상수라고 하면

$$D(f+g)=Df+Dg,\quad D(af)=aDf$$

이므로 $D$는 미분 가능한 함수로 이루어진 공간 $\mathcal{F}$에서 정의된 선형 변환 또는 선형 연산자이다. 변환보다 연산자로 부르는 것이 좋겠다. 미분 연산자를 $\nabla$로 쓰기도 한다.

고윳값과 고유벡터를 찾아 보자.

$$Df(t)=\lambda f(t)$$

$$\frac{df}{dt}=\lambda f(t)$$

$$\frac{1}{f(t)}\frac{df}=\lambda dt$$

$$\ln f(t)=\lambda t +C$$

$$f(t)=e^{\lambda t +C}=f(0)e^{\lambda t}$$

고윳값 $\lambda$에 대한 함수 $f(t)=f(0)e^{\lambda t}$를 고유 함수라고 하자. 행렬로 표현된 선형 변환에서 고윳값을 해로 가지는 특성 방정식이 있듯이 미분 연산자에 대한 특성 방정식을 찾아 보자.

아래와 같은 이차 선형 미분방정식이 있다.

$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$

미분 연산자 $D=dy/dx$라고 하면 아래와 같다.

$$aD^2+bDy+cy=0$$

이 방정식이 고유 함수 $f(x)=e^{\lambda x}$($\lambda$은 상수)를 해로 가진다고 하자.

$$Dy=r e^{r x},\quad D^2 y=r^2 e^{r x}$$

이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.

$$a\lambda^2e^{\lambda x}+b \lambda e^{\lambda x}+ce^{\lambda x}=0$$

$$(a\lambda^2+b \lambda+c)e^{\lambda x}=0$$

이것은 이차방정식 $a \lambda^2 +b\lambda+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.

이제 아래 글을 읽으면 미분 방정식이 훨씬 친숙하게 느껴지지 않을까!

suhak.tistory.com/929

2차 선형 미분방정식을 푸는 방법