2차 선형 미분방정식을 푸는 방법

먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.

2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.  

$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$

이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.

$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$

이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.

$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$

이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.

정리

특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.

$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$

임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.

여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.

보기 1

미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.

동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다. 

보기 2

단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.

 

주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.

$$F=-kx$$

뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$

$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$

여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.

$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$

특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.

$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$

$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin \omega t$$

여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$

$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$

 

알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법

계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.

$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$

$a_2(x)\not=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.

$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$

이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.

$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$

(2)에 대입하자.

$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$

이 식을 정리하면 아래와 같다.

$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$

여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.

$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$

$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$

$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$

이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.

$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$

$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$

$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$

$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$

$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.

$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$

$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx} \not=0$$

두 함수는 서로 독립이다.

$\blacksquare$

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보기 3

미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.

특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.

이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.

$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$

$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} - 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$

$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$

$$u^{\prime}(x)= c_1$$

$$u(x)=c_1x+c_2$$

$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.

$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$

이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.

$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}\not=0$$

두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.

일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.

일단 정리하고 가자.

미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$

의 특성 방정식은

$$am^2 +bm+c=0$$

이다. 다음과 같이 해를 결정한다.

i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다.

그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다.

ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서

$$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$

이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다.

iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.

3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.

보기 4

다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$

특성 방정식은 아래와 같다.

$$m^3 +3m^2-4=0$$

$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$

일반해는 아래와 같다.

$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$