2차 선형 미분방정식을 푸는 방법

수학 이야기/Calculus 2019. 10. 28. 10:29
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먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.

2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.  

$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$

이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.

$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$

이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.

$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$

이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.

정리

특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.

$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$

임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.

여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.

보기 1

미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.

동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다. 

보기 2

단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.

 

주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.

$$F=-kx$$

뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$

$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$

여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.

$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$

특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.

$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$

$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin(-\omega t)$$

여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$

$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$

 

알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법

계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.

$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$

$a_2(x)\not=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.

$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$

이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.

$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$

(2)에 대입하자.

$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$

이 식을 정리하면 아래와 같다.

$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$

여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.

$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$

$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$

$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$

이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.

$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$

$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$

$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$

$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$

$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.

$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$

$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx} \not=0$$

두 함수는 서로 독립이다.

$\blacksquare$


보기 3

미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.

특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.

이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.

$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$

$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} - 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$

$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$

$$u^{\prime}(x)= c_1$$

$$u(x)=c_1x+c_2$$

$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.

$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$

이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.

$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}\not=0$$

두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.

일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.

일단 정리하고 가자.

미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$

의 특성 방정식은

$$am^2 +bm+c=0$$

이다. 다음과 같이 해를 결정한다.

i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다.

그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다.

ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서

$$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$

이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다.

iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.

3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.

보기 4

다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$

특성 방정식은 아래와 같다.

$$m^3 +3m^2-4=0$$

$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$

일반해는 아래와 같다.

$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$

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  1. 2021.01.06 02:27 고치기 댓글

    첫 번째 정리는 어떻게 증명하나요?

  2. 2021.09.06 18:00 고치기 댓글

    eαi=cosα+isinα 는 어떻게 알 수 있나요?

    • 수학이야기 2021.09.07 13:24 신고 고치기

      https://suhak.tistory.com/163

      참고하세요. 여러 가지 증명이 있는데 고등학교 학생 수준으로 보여주는 증명입니다.



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