부등호의 뜻
수학이야기/공통수학 2025. 5. 2. 14:22학생 대부분은 이야기를 덧붙이지 않아도 직관적으로 대소 관계를 알 수 있다. 그런데 부등호에 대한 정의를 덧붙이지 않으면 뭔가 찜찜하다. 쓸데없어 보이지만 옛 교육과정엔 있었지만 지금은 사라진 부등호의 정의를 살펴보자.
실수는 직선 위의 점과 일대일대응을 이룬다. 보통 실수를 직선 위의 점으로 나타내고 수직선이라 부른다. 실수를 수직선 위에 나타냈을 때 오른쪽에 있는 수가 왼쪽에 있는 수보다 크다. 따라서 부등호는 방향으로 해석해도 된다. 기준보다 큰 수는 오른쪽, 작은 수는 왼쪽에 있다고 이해하면 된다.
예를 들면 −2<3,13<12,−3.5<−2.4이다. 이와 같이 대소 관계를 따지는 일은 매우 번거롭다. 따라서 부등호를 다르게 정의할 필요가 있다.
먼저 두 실수 a,b가 있을 때 a−b도 실수이다.
실수는 반드시 양수(+), 0, 음수(−) 가운데 하나가 된다. 양수는 0보다 크고 음수는 0보다 작다. 이때 '양수>0', '음수<0'으로 나타내기로 하자.
a,b가 실수일 때,a−b>0⟺a>ba−b=0⟺a=ba−b<0⟺a<b
괜히 어렵게 적은 것처럼 느껴진다. 위에 있는 정의는 두 수의 대소 관계는 빼서 양수인가 음수인가 알아보면 된다는 말이다. 좌변은 부호를 뜻하고 우변은 대소관계를 말한다고 생각하면 된다. (1)을 달리 말하면 실수 a−b가 양수이면 a가 b보다 크다( a>b )고 정의한다는 뜻이다..
부등식은 부등호(<,>,≤,≥)를 써서 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식
세 실수 a,b,c에 대하여
1. a<b,b<c이면 a<c
2. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
a<b⇒a+c<b+c,a−c<b−c
3. 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 양변을 같은 양수로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
a<b,c>0⇒ac<bc,ac<bc
3. 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향은 바뀐다.
a<b,c<0⇒ac>bc,ac>bc
a<b이면 a−b<0 다시 말하면 a−b는 음수이다.
여기에 c<0이므로 (a−b)c>0이다.
전개하면 ac−bc>0이므로 ac>bc이다.
나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같으므로 결과는 같다.
음수를 곱하면 부호가 바뀌므로 당연히 부등호 방향도 바뀌어야 한다고 기억해서 실수가 없도록 하면 된다.
물음 3√3과 5는 어느 것이 더 클까?
3√3−5의 부호를 알기는 쉽지 않다. 이때 두 수의 제곱을 비교하여 대소를 알 수 있다. 즉 (3√3)2−52=2>0이므로 3√3>5이다. 이것을 문자로 나타내면 두 양수 a,b에 대하여 a2−b2>0이면 (a−b)(a+b)>이다. 따라서 a−b>0이므로 a>b이다. 이 정도가 쉽게 이해된다면 수학을 아주 잘할 수 있는 소양을 갖춘 것이다.
부등호 <와 >는 영국의 수학자 해리엇(Harriot. T.. 1560~1621)이 처음 사용하였고, 등호가 결합된 부등호 ≦와 ≧는 프랑스의 과학자 부게르(Bougure. P.. 1698~1758)가 처음 사용하였다. 우리나라 중등 수학책에서 80년대까지는 ≦와 ≧를 쓰다가 이제는 ≤와 ≥로 적는다. 이렇게 함으로써 수학책 인쇄에 쓰는 잉크를 절약할 수 있다. 일본은 아직도 옛날 우리나라처럼 중고교 수학책에선 두 줄을 고수하고 있다고 한다. 부등호만큼은 일제의 잔재를 버렸다고 볼 수 있다.
등식과 부등식처럼 좌변과 우변 사이의 관계를 나타내는 식을 관계식(expression of relation)이라고 한다. 고등학교에서는 문자가 들어 있는 관계식을 아래와 같이 분류한다.
관계식{등식{방정식항등식부등식{조건부등식절대부등식