수학과 사는 이야기

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  공지 이 블로그는? 1996년 포천실고에서 처음으로 교직을 시작한 이래 고향인 강원도로 옮겨서 수학을 가르치고 있습니다. 중학교 3개 학년과 고등학교 3개 학년을 모두 지도한 경험이 있으며, 일반고는 물론 공고와 농고에도 근무하고 강원과학고에도 근무했습니다. 현재는 동해시 북평고에서 1학년을 맡아 주로 ‘공통수학’에 관심을 두고 있습니다. 옆의 글갈래나 상단의 검색창을 활용해 다양한 자료를 찾아보실 수 있습니다.올해 바닷가에서 살고 싶어 동해시로 옮겼지만, 정작 매일 바다를 보지는 못합니다. 여행과 사진을 좋아해 당분간은 동해 인근을 두루 살펴보려 합니다. 카메라는 니콘 D750을 주로 사용하지만, 예전처럼 늘 챙겨 다니지는 못해 요즘은 스마트폰으로도 사진을 자주 찍습니다.인공지능은 하루가 다르게 발전하고 있습니다. 눈이 ..

수학 이야기

• 대수 지수의 확장 처음에 등장한 지수는 밑을 곱한 횟수를 뜻하므로 $n$은 당연히 개수를 세는 수이다. 따라서 중학교에서 지수는 모두 자연수이고, 다음과 같은 지수법칙이 성립함을 배웠다.$$a^m a^n =a^{m+n}\tag{1}$$$$(a^m)^n =a^{mn}\tag{2}$$$$(ab)^n =a^n b^n\tag{3}$$$$\bigg(\dfrac {a}{b} \bigg)^n =\dfrac{a^n}{b^n}\tag{4}$$$$a^m \div a^n=\cases{a^{m-n}\quad (m>n)\\1\quad \quad (m=n)(a\not=0)\\ \dfrac{1}{a^{n-m}}\quad (m수학에서는 (5)와 같이 복잡한 표현을 좋아하지 않는다. 이제 고등학교 2학년 이후에는 (5)를 간단하게 나타낼 수 있도록 지..

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  대수 고2 '대수'의 시작은 거듭제곱과 거듭제곱근 2학기 2회 고사가 끝났다. 해마다 이맘때가 되면 수업 시간에 무엇을 해야 할지 고민하게 된다. 가장 바람직한 선택은 당연히 올해 배운 내용을 차분히 복습하는 일일 것이다. 그러나 대부분의 학생들은 내년에 배울 교과 내용을 미리 공부하는 데 더 많은 힘을 쏟는다. 그러다 보니 복습 문제를 중심으로 한 수업에서는 집중도가 눈에 띄게 떨어지는 경우가 많다.언제나 새롭고 낯선 것이 더 큰 흥미를 끌기 마련이다. 이미 지나간 내용을 다시 공부하는 데서 재미를 느끼지 못하는 학생들도 적지 않다. 하지만 막상 살펴보면, 이름만 익숙할 뿐 내용을 제대로 이해하지 못한 개념이 의외로 많다. 2022 개정 교육과정에서는 고등학교 2학년에서 ‘대수’를 배우게 된다.대수 교과서는 지수와 로그로 시작하며, 첫 단원은 거듭제곱..

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  수학이야기 직관은 불완전하다 '척 보면 압니다.'란 말이 있다. 아주 먼 옛날 개그맨이 유행어로 쓰기도 했던 말이다. 조금 어려운 말로 '직관적으로 알 수 있다.'라고 적을 수 있다. 속 뜻은 '매우 쉽게 알 수 있다.'는 말이다.그런데 과연 우리는 '직관'은 어디까지 믿을 수 있을까? 마술 공연을 보고 있으면 눈속임이 생각보다 쉽다고 느낀다. 생각보다 우리 눈은 정확하지 않다. 그래서 '눈으로 보고도 믿을 수 없는 일'이 일어나는 것이다.직관과 이성직관(直觀)이란?논리적인 추론이나 복잡한 계산 과정을 거치지 않고, 순간적으로 어떤 사실이나 진리를 ‘바로 알아차리는’ 능력을 말한다. 다시 말해, 마음속에서 한눈에 ‘아, 이거다!’ 하고 느끼는 깨달음 혹은 통찰이다.데카르트는 직관을 명백한 진리를 즉시 아는 정신 능력이라 보았고,칸..

인공지능에게 묻다

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  Gemini&chatGPT 알람브라 궁전의 아라베스크 문양 스페인에 가본 적은 없지만 테셀레이션에 등장하는 아라베스크 문양을 보니 알람브라 궁전을 한번 보고 싶다. 챗지피티에게 물어보니 뚝딱 글 한 꼭지를 내놓는다.알람브라 궁전을 소개해줘알람브라 궁전은 스페인 남부 안달루시아 지방 그라나다에 있는 궁전 겸 요새야. 이름부터가 인상적인데, 아랍어 알함라(al-Ḥamrāʾ), 즉 ‘붉은 성’이라는 뜻이야. 실제로 석양 무렵이면 붉은빛 성벽이 정말 아름다워.그라나다의 언덕 위에 알람브라 궁전이 있다.멀리서 보면 붉은 성벽이 조용히 도시를 내려다보고 있지만, 안으로 들어서는 순간 전혀 다른 세계가 열린다. 돌과 벽이 말없이 이야기를 건네는 곳, 그 중심에 아라베스크 문양이 있다.알람브라의 벽은 비어 있지 않다. 그렇다고 무언가를 과시하듯 드러내지도 않는다. 벽면을 가득..

• Gemini&chatGPT 친화수(Amicable Numbers)에 대한 깊이 있는 탐구 친화수는 두 자연수 사이의 특별한 관계를 나타내는 정수론의 아름다운 개념이며, 고대부터 수학자들의 관심을 받아왔다. 흔히 **우애수(友愛數)**라고도 부르며, 두 수의 약수의 합을 통해 상호 보완적인 관계가 정의된다.🤝 친화수의 엄밀한 정의친화수는 서로 다른 두 자연수 $a$와 $b$가 다음 조건을 만족할 때 성립하는 쌍이다.$a$의 진약수(자기 자신을 제외한 약수)의 합이 $b$와 같다.$b$의 진약수의 합이 $a$와 같다.이를 수학적으로 표현하기 위해, 자연수 $n$의 모든 약수의 합을 나타내는 **약수 함수 $\sigma(n)$**를 사용한다. 진약수의 합은 $\sigma(n) - n$이므로, 친화수 $(a, b)$의 관계는 다음 연립방정식으로 표현된다.$$\sigma(a) - a = b \qua..

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  Gemini&chatGPT 유리수는 자연수와 일대일 대응 두 집합 사이에 일대일 대응인 함수가 존재하면 두 집합은 유한이면 원소의 개수가 같고 무한집합이면 크기가 같다고 말한다. 특히 어떤 무한집합이 자연수의 집합과 일대일 대응이 존재하면 셀 수 있는(countable) 무한집합(가산집합)이라고 말한다. 정수와 유리수의 집합은 셀 수 있는 무한집합이지만 실수는 셀 수 없는(uncountable) 무한집합(비가산집합)이다.셀 수 있는 무한이란 결국 자연수와 일대일 대응하여 번호를 매길 수 있다는 말이다. 먼저 정수는 아래와 같이 배열하면 하나도 빠짐없이 번호를 매길 수 있다.자연수 $\mathbb{N}$12345678$\cdots$정수 $\mathbb{Z}$$0$$1$$-1$$2$$-2$$3$$-3$$4$$\cdots$ℚ (유리수 집합)의 가산성 증명유리수 집합..