수학 이야기
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수학이야기
2023 수학 분야 대학 순위
얼마나 공신력이 있는가는 잘 모른다. 그냥 우연히 검색하다가 찾았다. 수학 분야 대학 순위 1위는 예상대로 MIT인데 2위가 캠브리지다. 스탠포드도 생각보다 순위가 높다. 우리나라 대학은 조금 더 아래로 내려가야 보인다. 카이스트가 가장 먼저 나온다. 42위, 뒤를 이어 서울대가 46위. 포스텍은 91위, 연대와 고대는 128위에 이름을 올렸다. 어찌 보면 생각보다 순위가 높다. 우리나라 자연계 인재는 대부분 의대로 가고 있는 현실을 생각하면 카이스트와 서울대 수학과가 나름대로 선방하고 있다. https://www.topuniversities.com/university-subject-rankings/mathematics?page=6 QS World University Rankings for Mathema..
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수학이야기
데카르트의 타원
주어진 두 점 $S$와 $T$으로부터 점 $P$까지 거리가 각각 $s$, $t$일 때, 상수 $m,\;\;a$에 대하여 $s+mt=a$를 만족한다면 점 $P$의 자취는 아래와 같다. 이 곡선을 카테시안 타원(Cartesian oval)이나 데카르트의 타원이라 부른다. 방정식을 찾아보자. 두 점 $S(0,0),\;\;T(c,0)$이고 $P(x,y)$라고 하자. $$\sqrt{x^2 +y^2}+m\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a\tag{1}$$ $$\sqrt{x^2 +y^2}-a= -m\sqrt{(x-c)^2+y^2} $$ 양변을 제곱하여 정리하자. $$x^2+y^2-2a\sqrt{x^2 +y^2}+a^2= m^2 \{(x-c)^2+y^2\} $$ $$ x^2+y^2 +a^2- m^2 \{(x-c)^2+..
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미적분
와트 곡선
와트 곡선(watt's curve)은 증기기관을 발명한 제임스 와트(James Watt(1736- 1819))의 이름을 딴 곡선이다. 차수 6의 삼원 평면 대수 곡선(tricircular plane algebraic curve of degree six)이다. 곡선의 방정식은 무려 6차 다항식으로 나타난다. 이 곡선은 중심이 $(\pm a, 0)$이고 반지름 $b$인 두 원에 의해 만들어진다. 길이 $2c$의 선분의 끝점이 두 원 위에서 움직일 때, 선분의 중점은 와트 곡선을 그린다. 극형식으로 표현하면 아래와 같다. $$r^2 =b^2 -[a\sin\theta \pm\sqrt{ c^2-a^2 \cos^2 \theta}]^2$$ https://en.wikipedia.org/wiki/Watt%27s_curv..
인기글
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미적분
구분구적법과 정적분
구분구적법 일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분 구적법이라고 한다. 곡선 $y=x^2$와 $x$축, 직선 $x=2$ 으로 둘러싸인 부분의 면적을 구분구적법으로 구해보자. 구하려는 부분의 넓이를 $S$라고 하자. 등분한 수를 점점 늘려나가면 점점 오차가 줄어드는 것을 알 수 있다. $n$등분 한 경우는 $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 < S < \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \bigg( \frac{2k}{n}\bigg)^2$$ 이다 여기에서 $$ \l..
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Calculus
Sin 1/x 의 극한
함수 $y=\sin (1/x)$는 $x$가 $0$으로 가까워질 때, 극한값을 가지지 않음을 보여라. Sol) $x$가 $0$으로 가까워질 때, $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ 한없이 커지거나 작아진다. $\sin (1/x)$의 값은 $-1$와 $1$ 사이를 오간다, 함숫값이 한없이 가까워지는 일정한 상수 $L$이 존재하지 않는다. $x$가 양의 값을 가지며 가까이 갈 때나 음의 값을 가지며 가까이 갈 때나 마찬가지다. $\blacksquare$ 이것을 조금 더 엄밀하게 보이고 싶다면 아래와 같이 적을 수 있겠다. $\forall x$에 대하여 $\displaystyle{-1\leq\sin \frac{1}{x} \leq 1}$이므로 $x\rightarrow 0$일 때, 극한값 $L$이 ..
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수학이야기
피보나치(Fibonacci)수열의 일반항 구하기
수열 가운데 가장 유명한 수열은 피보나치수열이지 않을까? 앞에 있는 두 개의 항을 더해서 다음 항을 만드는 수열이다. $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots$$ 인도 수학자 핀가라(Pingala: BC 300~200?)가 처음 기술하였는데 훗날 피보나치(Fibonacci: 1170~1240)가 1202년 산술을 소개하는 책 Liber Abaci에 소개하면서 유럽에 알려졌기 때문에 피보나치수열로 부르게 되었다. 수학에서 보통 $F_n$으로 표기하는데 첫째 항을 0으로 잡지만 문제에 따라 1로 잡기도 한다. 피보나치수열은 여러 가지 모양으로 표현된다. 피보나치 수열을 소개하는 방법 계단 오르는 방법의 수 문제 계단을 오를 때 한 걸음에 한 칸 또는 두 칸을 오를 수 있다. 칸의 개수가 20인 계..