수학과 사는 이야기

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  공지 이 블로그는? 1996년부터 중등교사로 수학을 가르치고 있습니다. 중학교 3개 학년, 고등학교 3개 학년을 모두 지도한 바 있고 강원과학고에도 7년을 근무했습니다. 현재는 동해시 북평고에서 1학년을 맡아서 요즘은 주로 공통수학2에 관심이 많습니다. 옆에 있는 글갈래나 헤더에 있는 검색창을 이용하여 자료를 찾아보세요.바닷가에 살고 싶어서 올해 동해시로 옮겼는데 날마다 보지는 못해요. 여행과 사진을 좋아하는데 당분간 동해 가까운 곳을 훑어보려고 합니다. 사진은 주로 니콘 D750으로 찍는데 요즘은 옛날만큼 카메라를 챙겨 들고 다니지 않아서 스마트폰으로도 많이 찍게 됩니다.인공지능이 하루가 다르게 진보하고 있습니다. 눈이 휘둥그레질 정도입니다. 요즘 제미나이와 챗지피티에게 질문하여 받은 답으로 글을 쓰기도 합니다. 인공지능..

수학 이야기

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  공통수학2 역함수에 대하여 어떤 결과를 보고 이것이 무엇 때문에 일어난 일인가를 유추해야 할 때가 있다. 출력된 값을 보고 입력된 값을 찾아야 할 때도 많다. 이때 필요한 개념이 역함수이다. 예를 들어 범죄 현장에 범행에 쓰인 칼이 발견되었다고 하자. 지문을 채취하여 감식했더니 A의 지문이라는 결과가 나왔다. 이제 우리는 A가 범인이라고 강하게 의심할 수 있다. 이때 이 칼에서 발견된 지문이 모두 A의 것이라면 더욱 강력한 증거가 된다. 하지만 다른 사람의 지문이 함께 나온다면 다시 검토해 보아야 한다. 이런 과정에 역함수 개념이 있다고 볼 수 있다.암호문을 보고 원문을 찾는 과정을 생각하면 역함수를 쉽게 이해할 수 있지 않을까 싶다. 정의 (Definition of Inverse Function)함수 $f: X \to Y$ 에..

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  공통수학2 간단함으로 복잡함을 해결 수학이 아름다운 까닭은 세상에서 가장 복잡한 문제를 가장 단순한 원리로 해결하기 때문이다. 세상 복잡하고 어렵다는 양자물리학에 등장하는 문제도 결국은 덧셈으로 해결할 수 있다. 단순하게 말하면 세상 모든 수학은 1+1=2에서 시작했다. 어쩌면 수학은 레고와 아주 닮았다. 사진과 같은 정교한 작품도 몇 가지 단순한 블록을 조립하여 만들어진다. 문외한에겐 그저 멋진 결과물만 보이지만, 전문가인 레고 공인 작가(LEGO Certified Professional)는 이 작품에 어떤 기본 블록들이 어떤 방식으로 조립되었는지를 볼 수 있다. 수학을 잘하기 위해서도 마찬가지로 복잡하고 어려운 문제 속에서 단순한 원리를 꿰뚫어 보는 눈을 가져야 한다. 하지만 이것은 결코 쉽지 않다.레고 전문가는 어떻게 길러졌을까? 아..

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  수학이야기 정의역은 영어로 도메인이다. 수학과 인터넷의 언저리: '관계'와 '대응', 그리고 '도메인'관계와 대응에서 함수로, 그 특별한 만남의 이야기수학의 세계에 발을 들여놓으면, 우리는 곧 관계(Relation)라는 넓고 푸른 들판을 만나게 된다. 관계란 참으로 자유로운 영혼이라, 두 집합 $X$와 $Y$ 사이의 원소들을 그저 짝지어 놓은 모든 순서쌍을 아우르는 이름이다. 마치 한 사람이 여럿의 취미를 가질 수 있고, 또 어떤 이는 짝이 없이 홀로 남을 수도 있는 것처럼, 관계는 그 어떤 얽힘과 자유로움도 허용하는 관대한 개념이다. 수학책에서 관게는 아래와 같이 삭막하게 표현한다.^^관계를 집합 R이라고 하면 아래와 같이 정의한다. $$R\subseteq X\times Y=\{(x,y)\;|\;x\in X,\;\;y\in Y\}$$고등학교..

인공지능에게 묻다

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  Gemini&chatGPT 11월과 위대한 수학자들 벌써 11월이다. 2025년도 마지막을 향해 달려가고 있다. 제미나이에게 11월에 태어난 수학자를 찾아달라고 했더니 세 사람을 꼽는다. 페르마와 뫼비우스는 이름이 익숙한데 마지막은 처음 듣는 이름이라 지우고 올린다.피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat, 1601년 11월 경 ~ 1665년)페르마는 프랑스의 변호사이자 정치가였으나, 수학에 대한 깊은 열정으로 정수론, 확률론, 해석기하학 분야에 획기적인 공헌을 하였습니다. 그는 직업 수학자가 아닌 아마추어 수학자로서 17세기를 대표하는 수학자로 평가받습니다.페르마의 마지막 정리페르마의 업적 중 가장 유명한 것은 **‘페르마의 마지막 정리’**입니다. 그는 디오판토스의 저서 여백에 다음 정리를 언급하였습니다.$n$이 $3$ 이상의 정수일 때, 다..

• Gemini&chatGPT 왜 수학자는 “당연하다”를 싫어할까? 교사: $\sqrt{223}$과 $15$ 가운데 어느 것이 더 클까요?학생: $15$가 더 큽니다.교사: 왜인가요?학생: $\sqrt{223}^2=223$이고 $15^2=225$이기 때문입니다.교사: 제곱한 수가 큰 수가 더 큰 까닭은 무엇인가요?학생: 그건 당연하지 않나요?$a,\;\;b$가 양수일 때 $a>b$이면 $a^2>b^2$이다.너무 당연한 명제이지만 증명해야 의미를 가진다. 이런 걸 이해하지 못하는 학생이 많다. "왜 수학자는 “당연하다”를 싫어할까?"라고 챗지피티에게 물었다. 마음에 쏙 드는 대답을 곧바로 내놓는다. 정말 대단하다. 그런데 이렇게 만든 글은 누구에게 저작권이 있을까?수학의 증명 문화 학교 수업에서 자주 나오는 말이다.“이건 당연하지 않나요?”그러면 수학 선생님은 대개 이렇게..

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  Gemini&chatGPT 벌집구조와 관련된 수학 이야기 정리해줘 창고에 캔을 효율적으로 쌓는 방법은 원으로 평면을 채우는 문제와 관련되어 있다. 원 채우기 문제는 결국 정육각형 벌집 구조와 연결된다.정육각형 벌집 구조에 담긴 수학 원리를 탐구해 보자. 벌집 추측 (Honeycomb Conjecture)의 엄밀한 증명꿀벌의 육각형 구조는 **'벌집 추측(Honeycomb Conjecture)'**이라는 오랜 수학적 난제의 실제 사례이다. 이 추측은 **'평면을 겹치지 않게 완전히 덮는(tiling, tessellation) 방법 중, 주어진 면적을 둘러싸는 둘레의 길이(경계 길이)를 최소화하는 것은 정육각형 분할이다'**라고 명시한다.배경: 4세기경 고대 수학자 **파푸스(Pappus of Alexandria)**에 의해 처음 제기된 이 문제는 20세기까지도 엄밀한 증..