수학과 사는 이야기

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  공지 이 블로그는? 1996년 포천실고에서 처음으로 교직을 시작한 이래 중등 수학교사로 근무하고 있습니다. 중학교 3개 학년과 고등학교 3개 학년을 모두 지도해 본 경험이 있으며, 일반고는 물론 공고와 농고에도 근무하고 강원과학고에도 근무했습니다. 현재는 동해시 북평고에서 1학년을 맡아 주로 ‘공통수학’에 관심을 두고 있습니다. 옆의 글갈래나 상단의 검색창을 활용해 다양한 자료를 찾아보실 수 있습니다.올해 바닷가에서 살고 싶어 동해시로 옮겼지만, 정작 매일 바다를 보지는 못합니다. 여행과 사진을 좋아해 당분간은 동해 인근을 두루 살펴보려 합니다. 카메라는 니콘 D750을 주로 사용하지만, 예전처럼 늘 챙겨 다니지는 못해 요즘은 스마트폰으로도 사진을 자주 찍습니다.인공지능은 하루가 다르게 발전하고 있습니다. 눈이 휘둥그레질 ..

수학 이야기

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  수학이야기 절댓값이 있는 함수의 그래프 물리 시간에 속도(velocity)와 속력(speed)이 다르다는 것을 배운다. 속도는 빠르기와 방향을 가지고 속력은 빠르기만을 가진다. 어려운 말로 속도는 벡터(vector)이고 속력은 스칼라(scalar)이다.중학교 수학에서 음수를 배우면서 방향이 있는 수를 처음으로 만난다. 이때 부호의 의미를 쉽게 이해하지 못하는 학생이 있다. 수직선 위에서 '위치'를 나타내는 좌표는 부호가 있고 '거리'를 나타내는 수에는 부호가 없다. 위치를 나타내는 좌표는 크기와 방향이 있는 수이고 거리를 나타내는 수는 크기만 있고 방향이 없는 수이다. 이와 같은 개념이 곳곳에 나온다. 방향이 없는 수를 나타내는 기호가 바로 절댓값이다.절댓값의 정의수직선 위에서 $0$과 $x$ 사이의 거리를 $x$의 절댓값이라고 한다.이때, ..

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  공통수학2 유리함수와 무리함수의 그래프 모든 함수는 그래프를 정확하게 파악했을 때 비로소 완벽하게 이해한 것이다. 학생들에게 그래프를 좌표평면에 그려보라고 하면 그 수준이 고스란히 드러난다. 아무리 개형이라도 꼼꼼하게 따져가며 그럴싸하게 그리는 학생이 있는가 하면 너무 대충 그려서 도저히 점수를 줄 수가 없는 학생이 매우 많다.함수를 공부하는 가장 큰 목적은 변화를 다루기 위함이다. 따라서 그래프를 그릴 때도 변화에 주목하여 그려야 한다. 이때 $x$의 변화량과 $y$의 변화량의 비를 생각하면 도움이 된다. 즉, $x$가 증가할 때 $y$의 값이 증가하는가? 감소하는가? 또 그 양은 어떻게 변화하는가를 생각해야 한다는 것이다.$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$이를 위해 중학교에서 정비례와 반비례를 배운다. 다양한 변화를 쉽게..

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  대수 유리식을 부분분수로 분해 부분분수 분해는 유리식(rational expression), 즉 두 다항식의 비로 이루어진 분수 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$를 더 간단한 분수들의 합 또는 차로 나타내는 방법이다. 특히 분모 $Q(x)$가 인수분해될 때 사용하며, 적분 계산이나 수열의 합을 구하는 데 매우 중요하다.고1 공통수학 수준에서 다루는 원리공통수학에서는 분자가 상수인 간단한 꼴만 다루면 된다.$$\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}=\dfrac{B-A}{AB}\tag{1}$$(1)은 매우 자연스럽다. 이것을 아래와 같이 고쳐 적으면 간단한 형태를 부분분수로 분해할 수 있다.$$\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{B-A} \left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\tag{2}$$보..

인공지능에게 묻다

• Gemini&chatGPT 친화수(Amicable Numbers)에 대한 깊이 있는 탐구 친화수는 두 자연수 사이의 특별한 관계를 나타내는 정수론의 아름다운 개념이며, 고대부터 수학자들의 관심을 받아왔다. 흔히 **우애수(友愛數)**라고도 부르며, 두 수의 약수의 합을 통해 상호 보완적인 관계가 정의된다.🤝 친화수의 엄밀한 정의친화수는 서로 다른 두 자연수 $a$와 $b$가 다음 조건을 만족할 때 성립하는 쌍이다.$a$의 진약수(자기 자신을 제외한 약수)의 합이 $b$와 같다.$b$의 진약수의 합이 $a$와 같다.이를 수학적으로 표현하기 위해, 자연수 $n$의 모든 약수의 합을 나타내는 **약수 함수 $\sigma(n)$**를 사용한다. 진약수의 합은 $\sigma(n) - n$이므로, 친화수 $(a, b)$의 관계는 다음 연립방정식으로 표현된다.$$\sigma(a) - a = b \qua..

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  Gemini&chatGPT 유리수는 자연수와 일대일 대응 두 집합 사이에 일대일 대응인 함수가 존재하면 두 집합은 유한이면 원소의 개수가 같고 무한집합이면 크기가 같다고 말한다. 특히 어떤 무한집합이 자연수의 집합과 일대일 대응이 존재하면 셀 수 있는(countable) 무한집합(가산집합)이라고 말한다. 정수와 유리수의 집합은 셀 수 있는 무한집합이지만 실수는 셀 수 없는(uncountable) 무한집합(비가산집합)이다.셀 수 있는 무한이란 결국 자연수와 일대일 대응하여 번호를 매길 수 있다는 말이다. 먼저 정수는 아래와 같이 배열하면 하나도 빠짐없이 번호를 매길 수 있다.자연수 $\mathbb{N}$12345678$\cdots$정수 $\mathbb{Z}$$0$$1$$-1$$2$$-2$$3$$-3$$4$$\cdots$ℚ (유리수 집합)의 가산성 증명유리수 집합..

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  Gemini&chatGPT 평면을 채우는 곡선 세상을 이해하는 데 함수는 매우 강력한 힘을 발휘한다. 티브이를 보다가 우연히 페아노 곡선 이야기를 들었다. 라면이 꼬불꼬불한 까닭을 수학으로 설명하는 과정에서 나왔다. 제미나이에게 물었다. 역시 제미나이는 모르는 것이 없다. 위키백과에서 이미지를 가져왔다. 내용은 어렵지만 간단하게 말하면 평면 위에 있는 모든 점을 연결하는 방법을 찾는 페아노와 힐베르트 곡선을 정리한 글이다.이 글을 읽기 위해 알아야 하는 용어가 있다.$f: \mathbf{X}\rightarrow \mathbf{Y};\quad y=f(x)$라고 하자.단사(injective): 일대일인 함수 $f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$전사(sujective): 치역과 공역이 같은 함수 $\forall y_1\in \mathb..