네이피어 계산 막대와 로그

존 네이피어(John Napier, 1550 - 1617:스코틀랜드)는 아주 뛰어난 수학자는 아니었지만 등비수열을 등차수열로 바꾸는 로그를 만들어낸 것으로 수학사에 영원히 이름을 새겨 넣었다.

그는 곱셈을 덧셈으로 만들어 주는 계산 막대로 계산을 빠르고 간편하게 할 수 있게 해 주었다. 오늘날 살펴보면 별 것도 아닌 것으로 생각되지만 아무리 간단한 것도 남들보다 먼저 처음으로 생각해 내는 일은 아무나 할 수 있는 일이 아니다. 네이피어 계산 막대는 구구단을 적은 것에 불과하다. 하지만 이 간단한 막대가 곱셈을 덧셈으로 바꿔 주기에 복잡한 계산을 간단하게 할 수 있다.

이제 네이피어 계산막대를 써서 계산해 보자.

네이피어 로그

로그에 대한 이야기

과학 시간에 반감기가 나온다. 예를 들어 ¹³²Cs(세슘 132)는 시간이 지나면 붕괴하여 ¹³⁷Ba(바륨 137)이 되는데 반감기는 30년이다. 90년이 지나면 $\displaystyle{\frac{1}{2^3}}$이 남는다. 자연스럽게 반감기가 지난 횟수 $n$과 남은 세슘 양 $y$ 사이의 함수 관계를 알 수 있다.

$$y=\Big( \frac{1}{2}\Big)^n$$

지수는 자연수에서 실수까지 개념을 일반화하였으므로 실수에서 양의 실수로의 지수함수를 생각할 수 있다.

$$y=\Big( \frac{1}{2}\Big)^x$$

이 함수에서 만들어지는 지수방정식에서 자연수가 아닌 해를 생각할 수 있다. 예를 들어 남은 세슘이 $\displaystyle{\frac{1}{10}}$이 되는 때는 언제일까?

$$\frac{1}{10}=\Big( \frac{1}{2}\Big)^x$$

지수방정식 $2^x =10$의 해는 분명히 존재한다. 이때, $x=\log_2 10$로 정의한다.

$a > 0,\;\;a\not=1,\;\;N > 0$

$$a^x =b \iff x=\log_a N$$

 

수치 계산이 중요한 천문학, 항해, 무역, 공학과 같은 분야에서 더 빠르고 정확한 계산법이 필요해지자 자연스레 로그가 발명되었다. 로그의 이론적 기초는 아르키메데스까지 거슬러 올라간다. 아르키메데스의 <모래를 셈하는 사람>에서 이미 지수법칙이 다루어졌다. 이후 오렘은 등비급수와 등차급수를 비교하면서 분수 지수의 개념을 일반화했고 슈티펠은 분수 지수와 음의 지수를 도입했으며 스테빈의 복리계산표가 등장했다.

뷔르기(Jobst Bürgi, 1552~1632, 스위스의 교구 제작자)는 스테빈의 수표를 바탕으로 독자적인 로그표를 발명했으나 발표하지 않았고 케플러의 간청에 못 이겨 <등차 및 등비수열의 표>(1620)라는 논문을 발표했지만 이미 네이피어보다 6년이나 늦어버렸다.

로그(logarithm)는 logos(비)와 arithmos(수)의 합성어이다. 로그는 $\displaystyle{\sin A \sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}}$로부터 비롯되었을 것이 분명하다. (로그를 각의 사인 값에 대한 로그로만 제한한 것으로 짐작할 수 있다.) 네이피어가 처음 생각한 로그의 원리는 기하학적인 것이었다.

아래와 같이 선분 $\overline{AB}$와 반직선 $\overrightarrow{DE}$가 있다. 움직이는 점 $C$와 $F$가 동시에 $A$와 $D$로부터 출발하며 처음 속도는 같다. 

 

 

점 $C$의 속도는 $\overline{CB}$의 길이인 $y$로 움직이고 $F$는 일정한 속도로 움직일 때 $\overline{DF}$를 $\overline{CB}$의 로그라 한다. 여기서 $x=Nap\log y$이다.

점 $C$의 움직임을 식으로 표현해 보자. 처음 출발 속도는 $v_0$라 하자.

$\overline{AB}=c$라고 하면 점 $C$의 위치는 $c-y$이다. 따라서 $$\frac{d}{dt}(c-y)=y$$

미분방정식 $y^{\prime}=-y$는 변수 분리형이므로 간단하게 $$y=v_0 e^{-t}\tag{1}$$임을 얻을 수 있다. ($v_0$는 상수)

점 $F$는 등속도 $v_0$ 운동을 하므로

$$x=Nap \log y=v_0 t\tag{2}$$이다.

(1),(2)에서 $t$를 소거하면 $$y=v_0 e^{-x/{v_0}}$$

$\overline{AB}=10^7$으로 놓고 정리하면 $\displaystyle{Nap\log y=-10^7 log_{e}\frac{y}{10^7}}$이 된다. 즉 $x$가 등차수열로 증가할 때, $y$는 등비수열로 감소하며 따라서 로그 체계의 기본 원리인 등비수열과 등차수열의 관계를 얻는다. 예를 들어 $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow Nap\log  a-Nap\log b=Nap\log c-Nap\log d}$ 라는 것이다. 

참고 : http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=2630

네이피어가 1614년에 발표한 <놀라운 로그체계의 기술, Mirifici logarithmorum canonis descriptio> 네이피어가 이 논문을 썼을 때 아직 로그함수의 개념을 갖고 있지 않았으며 단지 수표가 필요했기 때문에 $\overline{AB}$의 길이를 $1$이 아닌 $10^7$으로 하여 소수(0보다 크고 1보다 작은 수)가 나오는 것을 피했다. 그러나 본질적으로는 마찬가지다.

이 저서를 보고 감동한 브리그스(Henry Briggs, 1561~1631)는 네이피어를 찾아 더 좋은 방법을 같이 고민하여 더 쓸모 있게 로그표를 고치기로 한다. 즉 10의 거듭제곱을 사용하여 $\log1=0,\;\;\log10=1$로 하기 위한 연구를 계속 이어갔지만 네이피어는 마무리하지 못한 채 세상을 떠났다. 네이피어의 유작 <놀라운 로그체계의 작성, Mirifici logarithmolum canonis constructio>은 로그에 관한 그의 두 번째 고전적 저술로 로그표 작성의 방법에 관해 자세히 해설하고 있다.

최초의 상용로그표는 네이피어가 아닌 브리그스가 선보였다. 새로운 로그표 작성에 모든 정열을 기울인 브리그스는 1624년 1~20,000, 90,000~100,000 사이의 14자리 로그표를 만들어 <로그 산술, Arithmetica logarithmica>을 출판한다. 가수와 지표 등의 낱말도 이 책에 처음 등장했다.

1. 지표(characteristic), 가수(mantissa : 에트루리어 어원의 후기 라틴어. 원 뜻은 추가 혹은 평형추) : 가수만을 표시하는 관습은 18세기부터이다.

2. 20,000~90,000 사이의 공백은 블라크(Adriaen Vlacq, 1600~1666, 네덜란드의 서적상이자 출판업자)의 도움으로 채워졌다.

3. 1620년에 건터(Edmund Gunter, 1581~1626)는 호의 분 간격의 각에 대한 사인과 탄젠트의 일곱 자리 상용로그표를 발간했다. 건터는 코사인과 코탄젠트 용어도 만들었다고 한다.

브리그스와 블라크는 네 개의 기본 로그표를 발간했는데 그것은 1924년과 1949년 사이에 로그 발견 300주년 기념사업의 일환으로 영국에서 20자리까지 로그를 계산하기 전까지 제일 좋은 표였다.

네이피어의 로그 발명은 전 유럽에서 열광적으로 채택되었다. 라플라스는 “천문학자의 수명이 로그의 발명으로 배나 연장되었다.”고 말했다. 이탈리아에서는 '카발리에리', 독일에서는 '케플러'가, 프랑스에서는 '윙게이트'(기초 산수에 관한 17세기 영국의 가장 유명한 교과서 저자)가 각각 비슷한 역할을 하였다.

우리는 왜 로그표에 사람들이 그토록 열광했는지 이해못할지도 모른다. 그러나 만일 $3.5678\times 2.6547$를 계산하면서 로그표를 이용하여  $3.5678=10^{0.55224}, \;\; 2.6547=10^{0.42402}$을 구하여 $3.5678\times 2.6547=10^{0.55224+0.42402}=10^{0.97626}$을 계산하면 쉽게 값을 구할 수 있다. 이렇듯 곱셈 문제를 덧셈 문제로 바꾸는 일은 로그표만 있으면 된다. 비교적 최근까지도 학교에서 공부할 때 로그표를 책에서 볼 수 있었으며 한 세대 전의 사람들은 소수 네 자리에서 심지어 여섯 자리까지 계산된 로그표를 사용하기도 했다.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Napier.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm

http://en.wikipedia.org/wiki/Slide_rule