지수(Exponent)의 확장

$1500000000000000$과 $15000000000000000$ 가운데 어느 것이 더 큰가?  자리수를 세어야만 알 수 있다. 이렇게 한눈에 알아보기 어려운 수를 $1.5\times 10^{15}$과 $1.5\times 10^{16}$으로 적으면 쉽게 알 수 있다. 복잡한 수는 약수를 구하거나 하는 일이 귀찮다. 이 때, $108=2^2 \cdot 3^3$처럼 소인수 분해를 하면 쉽게 다룰 수 있다. 이처럼 지수는 수나 문자가 곱해진 개수를 나타내는 것에서 출발한다.

$$a^n =\underbrace{a\times a \times a \times \cdots \times a}_n$$

지수가 자연수($\mathbb{N}$)라면 $ a^1 =a, \;\;a^{n+1}=a^n a$이다.

자연스럽게 아래와 같은 지수법칙이 성립한다.

1. $a^m \times a^n =a^{m+n}$

2. $a^m \div a^n =a^{m-n}$

3. $(a^m)^n =a^{mn}$

4. $(ab)^m =a^m b^m$

정수 지수

이 가운데 2는 $m>n$일 때만 성립한다. $0$ 또는 음의 정수인 지수를 정의할 필요가 있다.

$n\in \mathbb{N}$일 때

$a^n = a^{n+0} =a^n \times a^0$에서 $a^0 =1$로 정의하고,

$1=a^0 =a^{n+(-n)}=a^n a^{-n}$에서 $\displaystyle{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$로 정의하면 지수는 자연수에서 정수($\mathbb{Z}$)까지 확장된다.

유리수 지수

유리수 지수를 쓰기 위해 먼저 분수 지수를 실수인 거듭제곱근으로 정의해 보자.

$m \in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}$일 때. 지수법칙 3이 성립하려면

$(a^{\frac{m}{n}})^n =a^m$이라야 한다. (단, 유리수 지수부터는 밑이 양수일 때만 정의한다. $a>0,\;b>0$)

$$\displaystyle{a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$$

지수법칙 1이 성립함을 증명해 보자.

$a^{\frac{m}{n}} a^{\frac{p}{q}} =a^{\frac{mq}{nq}} a^{\frac{np}{nq}} =\sqrt[np]{a^{mq}}\cdot \sqrt[np]{a^{np}}=\sqrt[np]{a^{mq+np}}=a^{\frac{mq+np}{nq}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$

마찬가지로 $r,s\in \mathbb{Q}$일 때, 지수법칙이 성립함을 증명할 수 있다.

1. $a^r \times a^s =a^{r+s}$

2. $a^r \div a^s =a^{r-s}$

3. $(a^r)^s =a^{rs}$

4. $(ab)^r =a^r b^r$

실수 지수

실수 지수는 아래와 같이 극한으로 정의한다.

$$\displaystyle{a^x = \lim_{r \to x} a^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R)}$$

예를 들면 $1,\;1.4,\;1.41,\;1.414,\;1.4142,\;\cdots$와 같이 $\sqrt2$로 한없이 가까워지는 유리수 수열 $\{r_n\}$을 생각하고 $a^{r_n}$이 가까워지는 상수를 $a^{\sqrt2}$로 정의한다.

극한의 성질에 따라 $x,y\in\mathbb{R},\;a>0,\;b>0$일 때, 지수법칙이 성립한다.

1. $a^x \times a^y =a^{x+y}$

2. $a^x \div a^y =a^{x-y}$

3. $(a^x)^y =a^{xy}$

4. $(ab)^x =a^x b^x$

복소수 지수는 다음으로 미루기로 하자.

유리수는 조밀(density)하고 실수는 완비(completeness)이다. 이제 함수 $y=a^x$의 그래프를 완전하게 채울 수 있게 되었다.

실수 전체 집합이 정의역인 지수함수도 다룰 수 있게 된 것이다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation