거리의 정의와 택시 기하::::수학과 사는 이야기

정의 1.1 각 점의 순서쌍 $(A,B)\in X$에 음이 아닌 실숫값 $(\mathbb{R}^+ \cup \{0\})$을 부여하는 거리함수(metric) $d: X \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$는 집합의 원소인 두 점 사이의 거리(distance)를 나타내며 다음과 같은 성질을 만족한다.

1. $d(A,B) \leq 0\;\; ; \;\;d(A,B)=0 \iff \; A=B$

2. $d(A,B)=d(B,A)$

3. $d(A,B)+d(B,C) \leq d(A,C)$

위와 같이 거리 $d$가 정의된 집합 $X$를 거리공간(metric space)이라 하고 $(X,d)$로 나타내며 간단히 거리공간 $X$로 적는다.

평면 위에 있는 세 점을 $A(x_1 ,y_1), B(x_2 ,y_2 ),C(x_3 ,y_3 )$라고 하자.

유클리드 공간은 세 가지 성질을 만족하는 거리함수 $$d_E (A,B)=\sqrt{(x_1 -x_2 )^2 +(y_1 -y_2 )^2}$$가 잘 정의되므로 거리공간이다.

$$d_T (A,B)=|x_1 -x_2|+|y_1 +y_2 |$$

이 함수도 거리함수인데 택시거리로 부른다. 이 새로운 거리함수에 따라 새로운 기하공간이 만들어진다. 이 공간에서의 기하를 택시기하로 부른다. 허만 민코스키(Herman Minkowski (1864-1909))가 비-유클리드 기하를 만드는 방법을 보여주기 위해 처음으로 제안하였다. 참고로 민코스키는 어린 아인슈타인을 가르쳤다. 거리함수만 새로 정의하면 민코스키 뜻대로 아주 쉽게 유클리드 기하와 다른 새로운 기하를 만들 수 있다.

http://taxicabgeometry.net/general/history.html

대도시에 있는 복잡한 도로를 떠올려 보자. 지도 위에서 두 지점 사이의 유클리드 거리를 쉽게 계산할 수 있다. 그러나 실제 두 지점을 오가기 위해선 도로를 따라 움직여야 한다. 따라서 실제로 움직이는 두 지점 사이 거리는 유클리드 거리보다 오히려 택시거리에 더 가까울 수 있다.

아래를 만족하는 점 $P$의 집합을 생각해 보자.

$$d(A,P)+d(P,B) = d(A,B)$$

유클리드 거리 $d_E$라면 점 $P$는 선분 $\overline{AB}$ 위에 있다.

택기거리$d_T$라면 다르다. $\overline{AB},\;\;\overline{BC}$처럼 축과 평행하게 놓여있다면 선분이 된다 $d_T (A,P)+d_T (P,C) = d_T (A,C)$를 만족하는 점은 직사각형 $ABCD$ 내부에 있는 모든 점이다. (참고 : 두 점을 가장 짧은 거리로 잇는 선을 직선으로 생각한다면 택시기하는 두 점을 잇는 선분이 단 하나뿐인 유클리드 기하와 다르다.)