정12면체 이면각

정12면체의 이웃한 두 면이 이루는 각을 $\theta$라고 할 때, $\cos\theta$의 값을 구해보자.

그림에서 모서리 $NI$에 수직인 직선 $NW$와 $TW$가 이루는 각이 $\theta$이다. 먼저 선분 $NW$의 길이를 구해보자. 아래 정5각형에서 대각선 $NV$의 길이를 $a$라고 하면

$$a:1=1:a-1$$

에서 $$a=\frac{1+\sqrt5}{2}$$이므로

$$x^2 =\bigg(\frac{1+\sqrt5}{2}\bigg)^2 -\frac{1}{4}=\frac{5+2\sqrt5}{4}$$

아래 그림은 정12면체를 자른 단면이다.

$$\bigg(y-\frac{1}{2}\bigg)^2 +y^2 =x^2$$

$$2y^2 -y -\frac{2+\sqrt5}{2}=0$$

$$4y^2 -2y -(2+\sqrt5)=0$$

$$y=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$$

$$\cos\theta=\frac{x^2 +x^2 -(2y)^2}{2x^2}=1-2\frac{y^2}{x^2}$$

위에서 구한 값을 대입하여 정리하면

$$\cos\theta=- \frac{\sqrt5}{5}$$

선분 $NT$를 구하는 또 다른 방법은 정5각형 $NVTRP$를 생각하여 구하는 것이다. 다섯 꼭짓점은 모두 같은 평면에 있음을 직관적으로 알 수 있다. 한 모서리 길이가 $\overline{NM}=1$이라면 위에서 이야기한 정5각형에서 대각선 길이 구하는 일을 두 번 되풀이 하면 된다. 따라서

$$\overline{NV}=\frac{1+\sqrt5}{2}$$

$$\overline{NT}=\frac{1+\sqrt5}{2} \overline{NV}=\bigg(\frac{1+\sqrt5}{2}\bigg)^2$$