정사영

정사영(orthogonal projection)

평면 $\alpha$에 있지 않은 한 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $P^{\prime}$라고 할 때, $P^{\prime}$은 점 $P$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이다. 또 도형 $F$에 속하는 각 점의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영으로 이루어진 도형 $F^{\prime}$는 도형 $F$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이다. 점, 직선, 다각형, 구의 평면 위로의 정사영을 생각해 보자.

 

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예제 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 수직이 아닐 때, 직선 $l$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $l^{\prime}$은 직선임을 보여라.

그림과 같이 직선 $l$ 위의 두 점 $A,B$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $A^{\prime},B^{\prime}$이라 하면 $\overline{AA^{\prime}}//\overline{BB^{\prime}}$이므로 두 직선 $AA^{\prime},BB^{\prime}$은 한 평면 $\beta$를 결정한다.

이때, $\overline{AA^{\prime}}\bot\alpha$이므로 $\alpha\bot\beta$이고, 평면 $\alpha,\beta$의 교선은 직선 $A^{\prime},B^{\prime}$이다.

직선 $l$은 평면 $\beta$ 위에 있으므로 직선 $l$ 위의 점 $P$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $P^{\prime}$은 평면 $\beta$와 $\alpha$의 교선인 직선 $A^{\prime},B^{\prime}$ 위에 있다.

따라서 직선 $l$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 직선 $A^{\prime},B^{\prime}$이다.

정리 선분$AB$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 선분 $A^{\prime},B^{\prime}$이라 하고, 직선 $AB$가 평면 $\alpha$와 이루는 각의 크기가 $\theta$이면

$$\overline{A^{\prime}B^{\prime}}=\overline{AB}\cos\theta $$

도형 $R$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $R^{\prime}$이라고 하고 두 도형의 넓이를 각각 $S, S^{\prime}$이라고 할 때, 도형 $R$을 포함하는 평면과 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기가 $\theta$이면

$$S^{\prime}=S\cos\theta \big(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\big)$$

문제_2008학년도 9월 평가원_반지름의 길이가 $6$인 반구가 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있다. 반구와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원의 중심을 $O$라 하자. 그림과 같이 중심로부터 거리가 $2\sqrt3$이고 평면$\alpha$와 $45^o$의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면 $\alpha$위로의 정사영의 넓이는 $\sqrt2(a+b\pi)$이다. $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a,b$ 는 자연수이다.) [4점]