심화수학 1 종합 문제 226p 풀이

1. 정사면체의 두 면이 이루는 각을 $\alpha$, 정팔면체의 두 면이 이루는 각을 $\beta$라고 할 때 $\alpha+\beta$의 값을 구하여라. 

풀이 정사면체 각 모서리의 중점을 연결하면 정팔면체가 된다. 따라서 $\alpha+\beta=\pi$이다.

이면각의 정의에 따라 크기를 구해 보면 각각$$\cos \alpha=\frac{1}{3}, \cos\beta=-\frac{1}{3}$$이다. $\cos \alpha+\cos\beta=0$이므로 $\alpha+\beta=\pi$이다.

2. 정삼각형 $ABC$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$이라 하자. 삼각형 $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$의 세 변의 길이가 각각 $2,3,2\sqrt2$일 때 정삼각형 $ABC$의 한 면의 길이를 구하여라. 

풀이 정삼각형 $ABC$의 한 면의 길이를 $a$고 하고 세 변 $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}$가 평면 $\alpha$와 이루는 각을 각각 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$이라고 하자. $$a\cos\theta_1=2, a\cos\theta_2 =3, a\cos\theta_3=2\sqrt{3}$$이므로 $\theta_1 >\theta_2>\theta_3$이다. 따라서 $$a\sin\theta_1=a\sin\theta_2+a\sin\theta_3$$이 성립한다.$$a\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}=a\sqrt{1-\frac{9}{a^2}}+a\sqrt{1-\frac{12}{a^2}}$$이다. 이를 정리하면
 $$3a^2 -50a^2 +142=0$$이고 $a^2 \geq 12$이므로 $a^2=13$이다. 따라서 $a=\sqrt{13}$이다. 
 
3. 서로 직교하는 세 선분 $\overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}$의 길이가 각각 $1,2,3$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.(단, $O$는 원점)

1) 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.

풀이 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이는 각각 $\overline{AB}=\sqrt{5},\overline{BC}=\sqrt{13},\overline{CA}=\sqrt{10}$이다.
   $$\cos A=\frac{10+5-13}{2\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{50}}$$
   그러므로 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$는
   $$S=\frac{1}{2}\overline{AB}\cdot \overline{CA}\sin A=\frac{7}{2}$$이다.
   
 2) 점 $O$와 평면 $ABC$ 사이 거리를 구하여라. 

풀이  사면체 $OABC$의 부피 $V$는 $$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \overline{OA}\cdot \overline{OB}\cdot \overline{OC}$$이다. 점 $O$와 평면 $ABC$ 사이 거리를 $h$라고 하면 $$V=\frac{1}{3}Sh$$이다. 따라서
   $\displaystyle{h=\frac{6}{7}}$이다.   

3) 두 평면 $ABC$, $OAB$가 이루는 각을 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값을 구하여라.   
   풀이 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영은 삼각형 $OAB$이다. 정사영의 성질에 따라 삼각형 $OAB$의 넓이를 $S^{\prime}$라고 하면
   $$S^{\prime}=S\cos\theta$$에서 $\displaystyle{\cos\theta=\frac{2}{7}}$이다.
  
  
4. 왼쪽 그림과 같이 높이가 $5$이고 밑면의 둘레의 길이가 $2$인 원통에서 중심축의 대각 꼭짓점인 $P$와 $Q$을 실로 $2.5$번 감았을 때, 최소 길이를 구하여라.

풀이 펼친 그림을 생각하면 된다. 

5. 세 점  $A(\sqrt{2},1,1),B(-2\sqrt{2},2,2), C(0,0,0)$에 대하여 다음 물음에 답하여라.
 
 1) 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.
   
풀이 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이는 각각 $\overline{AB}=2\sqrt{5},\overline{BC}=4,\overline{CA}=2$이다.
   $$C=\frac{\pi}{2}$$
   그러므로 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$는
   $$S=\frac{1}{2}\overline{BC}\cdot \overline{CA}=4$$이다.
 2) 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이를 구하여라. 
   세 꼭짓점의 정사영은 각각
   $$A^{\prime}(\sqrt{2},1,0),B^{\prime}(-2\sqrt{2},2,0),C^{\prime}(0,0,0)$$
   삼각형 $A^{\prime}B^{\prime}C$에서 $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}=\sqrt{19},\overline{B^{\prime}C}=2\sqrt{3},\overline{CA^{\prime}}=\sqrt{3}$
   $$\cos C=\frac{3+12-19}{2\cdot 2\cdot 4}=-\frac{1}{3}$$
   이므로 $\displaystyle{\sin C=\sqrt{1- \frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$이므로 삼각형 $A^{\prime}B^{\prime}C$의 넓이 $S^{\prime}$는
   $$S^{\prime}=2\sqrt{2}$$
   
 3) 삼각형 $ABC$를 포함하는 평면과 $xy$평면이 이루는 각의 크기를 구하여라.

풀이 삼각형 $ABC$의 $xy$평면이 이루는 각을 $\theta$라 하면
   $$S^{\prime}=S\cos\theta$$에서 $\displaystyle{\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}}$이다. $$\theta=\frac{\pi}{4}$$
   
6. 좌표공간에서 두 점 $A(4,1,7), B(-1,k,2)$에 대하여 선분 $AB$의 $xy$평면 위로의 정사영의 길이가 최소가 될 때, 직선 $AB$와 $xy$평면이 이루는 각의 크기를 구하여라.
 
 풀이 두 점 $A,B$의 $xy$평면 위로의 정사영은 각각 $A^{\prime}(4,1,0), B^{\prime}(-1,k,0)$이므로 $k=1$일 때 길이가 최소이다.
 $$\overline{A^{\prime}B^{\prime}}=\overline{AB}\cos\theta$$에서 $$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$$이다. 따라서 $\displaystyle{\theta= \frac{\pi}{4}}$이다.
 
7. 그림은 밑면의 반지름의 길이가 $10$이고 높이가 $30$인 직원뿔을 위에서 내려다 본 도형이고 $A^{\prime},B^{\prime}$은 각각 직원뿔 위의 점 $A,B$의 밑면 위로의 정사영이다. $\overline{OA^{\prime}}=6, \overline{OB^{\prime}}=8, \angle{A^{\prime}O B^{\prime}}=90^o$일 때 선분 $AB$의 길이를 구하여라.

 

풀이 그림에서 밑면의 중심을 원점으로 직선 $\overline{OB^{\prime}},\overline{OA^{\prime}}$을 각각 $x,y$축으로 생각하여 좌표로 해결한다.

8. 두 점  $A(-3,3,1), B(3,-1,5)$에서 같은 거리에 있는 $zx$평면 위의 점 $P$의 집합을 $M$이라고 할 때 다음 물음에 답하여라. 

1) 점 $P$가 그리는 도형이 직선임을 보여라.
 $P(x,0,z)$이라고 하면 $\overline{PA}=\overline{PB}$이므로
 $$\sqrt{(x+3)^2 +9+(z-1)^2}=\sqrt{(x-3)^2 +1+(z-5)^2}$$이다. 정리하면 $$3x+2z=4, y=0$$이므로 직선이다.
 
2) 선분 $AP$의 길이가 최소일 때, 점 $P$의 좌표와 최솟값을 구하여라.

풀이  위에서 구한 직선을 $l$이라고 하자. 점 $A(-3,3,1)$의 $zx$평면 위로의 정사영은 $A^{\prime}(-3,0,1)$이다.

정사영 $A^{\prime}(-3,0,1)$에서 $3x+2z=4, y=0$에 내린 수선의 발을 $P$라고 하면 삼수선의 정리에 의해 직선 $l$과 직선 $AP$는 수직이다. 따라서 선분 $AP$의 길이가 최솟값이다.
  $$\overline{AP}^2 =\overline{A^{\prime}P}^2+\overline{AA^{\prime}}^2 $$
  먼저 $A^{\prime}$에서 직선 $l$까지 거리를 구하자.
  $$\overline{A^{\prime}P}=\frac{|3\cdot(-3)+2\cdot 1-4|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{11}{\sqrt{13}}$$
  $$\therefore \overline{AP}=\sqrt{\frac{238}{13}}$$
  
 
9. 밑면의 반지름의 길이가 $2$인 직원기둥을 밑면과 평행하지 않는 평면으로 자른 단면을 $\alpha$라고 할 때 다음 물음에 답하여라.

1) 단면 $\alpha$가 타원임을 보여라.
 

 풀이 평면과 원기둥에 동시에 접하는 구를 각각 $S_1,S_2$라고 하자. 평면 $\alpha$와 접하는 접점을 각각 $F_1,F_2$라 하고 구와 원기둥의 교선인 원을 각각 $C_1,C_2$라 하자. 문제에 주어진 단면 위의 한 점을 $P$라 하면 구에 접하는 접선의 성질에 따라 
 $$\overline{PF_1}=\overline{PR},\overline{PF_2}=\overline{PQ}$$
 $$\therefore \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{QR}$$
 
2) 단면 $\alpha$와 직원기둥의 밑면이 이루는 각이 $45^o$일 때 타원 $\alpha$의 넓이를 구하여라.\\
 풀이 타원의 넓이를 $S$라고 하면 타원의 밑면 위로의 정사영은 원이므로
 $$4\pi=S\cos 45^o$$이므로 $S=4\sqrt{2}\pi$이다.
 
3) 타원 $\alpha$와 직원기둥의 밑면이 이루는 각이 $45^o$일 때 타원 $\alpha$의 두 초점 사이의 거리를 구하여라.\\
 풀이 단면인 타원은 장축이 $2a=4\sqrt{2}$이고 단축은 $2b=4$이다. 따라서 $c^2 =a^2 -b^2$에서 $2c=4$이다.
 
10. 네 점 $A(1,0,0),B(3,0,0), C(2,\sqrt{3},0),D(x,y,z)$를 꼭짓점으로 하는 사면체가 정사면체가 되도록 실수 $x,y,z$의 값을 정하여라.

풀이 삼각형 $ABC$는 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이다. 무게중심은 $\displaystyle{G(2,\frac{\sqrt{3}}{3},0)}$이다. 나머지 꼭짓점은 무게중심을 지나고 평면 $xy$에 수직인 직선 위에 있다. $\displaystyle{\overline{GD}=\frac{2\sqrt{6}}{3}}$이다. 그러므로 $\displaystyle{D(2,\frac{\sqrt{3}}{3},\pm \frac{2\sqrt{6}}{3})}$이다.

11. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $3$인 구를 $S_1$, 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $4$인 구를 $S_2$라고 하자. 구 $S_1$ 위의 임의의 한 점을 $(x_1,y_1,z_1)$, 구 $S_2$ 위의 임의의 한 점을 $(x_2,y_2,z_2)$라고 할 떄 실수 $x_1 x_2 +y_1 y_2 +z_1 z_2$의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

풀이 두 구의 방정식은 각각
$$x^2 +y^2 +z^2=3^2,\;\;x^2 +y^2 +z^2=4^2$$
이므로
$$x_1^2 +y_1^2 +z_1^2=3^2,\;\;x_2^2 +y_2^2 +z_2^2=4^2$$
이다. 아래와 같은 식을 생각하자.
$$(x_1 t-x_2)^2 +(y_1 t-y_2)^2 +(z_1 t-z_2)^2 \geq 0$$
정리하면
$$(x_1^2 +y_1^2 +z_1^2)t^2 -2(x_1 x_2 +y_1 y_2 +z_1 z_2)t+(x_2^2 +y_2^2 +z_2^2)\geq 0$$
이다. 모든 실수 $t$에 대하여 성립해야 한다.
$$\frac{D}{4}=(x_1 x_2 +y_1 y_2 +z_1 z_2)^2 -(x_1^2 +y_1^2 +z_1^2)(x_2^2 +y_2^2 +z_2^2)\leq 0$$
$$\therefore -12\leq x_1 x_2 +y_1 y_2 +z_1 z_2 \leq 12$$

12. $a,b$가 양의 실수이고 네 점 $P(0,0,0),Q(a,0,0),R(0,1,0),S(0,1,b)$가 반지름이 $1$인 구 위에 있을 때 사면체 $P-QRS$의 부피의 최댓값을 구하여라.

풀이 삼각형 $PQR$은 $xy$평면 위에 있고 넓이는 $\displaystyle{S= \frac{1}{2}a}$이다. 따라서 사면체 $P-QRS$의 부피는 $$V= \frac{1}{6}ab$$이다.
구의 중심을 $C(\alpha,\beta,\gamma)$라고 하면 $\overline{CP}=\overline{CQ}=1$에서 $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =1$$
$$\alpha^2+(\beta-1)^2+\gamma^2 =1$$이므로 $\displaystyle{\beta=\frac{1}{2}}$이다.
마찬가지로 $\overline{CR}=\overline{CS}=1$이므로
$$(\alpha-a)^2+\beta^2+\gamma^2 =1$$
$$\alpha^2+(\beta-1)^2+(\gamma-b)^2 =1$$에서 $$\alpha=\frac{a}{2},\gamma=\frac{b}{2}$$이다. 정리하면
$$\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{b^2}{4}=1$$이므로 $a^2 +b^2=3$이다.$$\frac{a^2 +b^2}{2}\geq \sqrt{a^2 b^2}=ab$$이므로 $ab$는 $\displaystyle{a=b=\frac{\sqrt{6}}{2}}$일 때 , 최댓값 $\displaystyle{\frac{3}{2}}$을 가진다. 따라서 정사면체 부피의 최댓값은 $V=\displaystyle{\frac{1}{4}}$이다.

13. 중심이 $(1,0,0)$이고 반지름의 길이가 $2$인 구의 내부점들 중에서 $x,y,z$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하여라.
풀이 중심이 원점이고 반지름이 $2$ 구라고 생각해도 다르지 않다.
1) $x^2 +y^2 +z^2 =4$와 $xy$평면이 만나는 교선은 $x^2 +y^2 =4, z=0$이다. 좌표가 모두 정수인 점은 $9$개다.
2) $x^2 +y^2 +z^2 =4$와 평면 $z=\pm 1$이 만나는 교선은 $x^2 +y^2 =3, z=\pm 1$ 좌표가 모두 정수인 점은 $9$개다.
3) 평면 $z=\pm 2$는 구와 접한다.
그러므로 $27$이다.

14. 정이십면체에 외접하는 구의 반지름을 $1$이라 할 때 정이십면체의 한 모서리의 길이를 구하여라.

풀이 한 모서리의 길이를 $a$라 하고 꼭짓점 $A_1$에서 대각선 $\overline{A_2A_5}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하자.
$$\overline{A_5 H}=a\cos \frac{\pi}{5},\;\;\overline{OH}=\frac{a}{2}$$
$$\frac{a^2}{4}+a^2\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\bigg)^2=1$$
$$a=\sqrt{\frac{2(5-\sqrt{5})}{5}}$$

교과서 문제는 지름이 1일 때이므로 고쳐야 하는데 그림을 새로 그리기 귀찮아 그냥 둔다.