벡터 성분(vector component)

평면 또는 공간에서 한 점 $O$를 고정하면 임의의 벡터 $\overrightarrow{a}$에 대하여 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$가 되는 점 $A$의 위치가 오직 하나로 정해진다. 역으로 임의의 점 $A$에 대하여 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$가 되는 벡터 $\overrightarrow{a}$가 오직 하나로 정해진다. 이와 같이 시점을 한 점 $O$에 고정하고 점 $A$를 종점으로 하는 벡터 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$를 점 $A$의 위치벡터라고 한다. 일반적으로 위치벡터의 시점은 원점으로 잡는다.

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$$

이므로 모든 벡터는 위치벡터로 나타낼 수 있다.

좌표평면 위에서 원점 $O$를 시점으로 하고 두 점 $E_1(1,0),\;\;E_2(0,1)$을 종점으로 하는 두 단위벡터 $\overrightarrow{OE_1},\overrightarrow{OE_2}$를 기본단위벡터라 하고 $\vec{e_1},\;\vec{e_2}$로 적는다.

임의의 점 $A(a_1,a_2)$를 종점으로 하는 위치벡터는 항상

$$\vec{a}=a_1 \vec{e_1}+a_2\vec{e_2}$$와 같이 나타낼 수 있는데 이때 실수 $a_1,a_2$를 각각 $\vec{a}$의 $x$성분, $y$성분이라고 한다. 벡터를 성분을 써서 $$\vec{a}=(a_1,a_2)$$와 같이 간단하게 나타낸다. 공간벡터도 마찬가지다. 공간벡터는 $E_1(1,0,0),E_2(0,1,0),E_3(0,0,1)$을 종점으로 하는 벡터 $\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$을 기본벡터로 하여

$$\vec{a}=a_1 \vec{e_1}+a_2 \vec{e_2}+a_3 \vec{e_3}$$일 때

$$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$

로 표현한다. (참고 종점의 좌표(coordinate)는 $A(a_1,a_2,a_3)$로 적고 이 점의 위치벡터는 위와 같이 등호를 넣어서 표현한다.) 

참고 벡터와 스칼라(scalar)라는 말은  William Rowan Hamilton이 처음으로 썼다. 그는 위치벡터 개념을 세워 벡터를 좌표로 다룰 수 있게 하였고 사원수(quaternions)를 만들었는데 복소수와 비슷한 체로 

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$와 같이 계산한다. 아내와 함께 산책하다가 떠오른 아이디어를 돌다리에 새겨 두었다가 나중에 적어걌는데 훗날 발레라 수상이 기념패를 다리에 붙였다고 한다.

 

벡터를 성분으로 나타내면 복잡한 문제를 간단하게 다룰 수 있는 경우가 많다. 아래 문제를 살펴보자.

예제)) 그림과 같이 반지름이 $1$인 원에 내접하는 정팔각형에서 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\;\;\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{b}$라고 할 때 $$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$$를 만족하는 실수 $m,n$을 찾아라.

풀이 정팔각형의 성질을 이용하여 풀 수 있다. 먼저

 $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GD}$$

이다. $$\overrightarrow{BG}//\overrightarrow{AB},\;\;\overrightarrow{GD}//\overrightarrow{AB}$$이고

$$|\overrightarrow{BG}|=|\overrightarrow{GD}|=(1+\sqrt{2})|\overrightarrow{AB}|$$

그러므로

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+ (1+\sqrt{2})\overrightarrow{b}+ (1+\sqrt{2})\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{AD}=(2+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+ (1+\sqrt{2})\overrightarrow{b}$$

그러나 항상 이렇게 쉽게 찾을 수 있는 것은 아니다. 이럴 때

$$\overrightarrow{OG}=\vec{e_1},\overrightarrow{OA}=\vec{e_2}$$로 각 꼭짓점의 위치벡터를 성분으로 나타낸 다음 계산하면 쉽게 문제를 해결할 수 있다.