역함수의 부정적분

역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자.

지수함수 $f(x)=e^x$의 역함수는 $f^{-1}(x)=\ln x$이다.

$$\int f^{-1}(x)dx=\int \ln xdx$$에서 $x=e^t$으로 치환하면

$\displaystyle{\frac{dx}{dy}=e^y}$이므로 주어진 부정적분은

$$=\int y{e}^{y}dy=y{e}^y-\int e^{y}dy=y{e}^y-e^y+C=x\ln x-x+C$$이다.

정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다.

$$\int f^{-1}(x)dx=\int f^{-1}(f(y))f^{\prime }(y)dy=\int x{f}^{\prime }(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy$$

함수 $y=\tan^{-1} x$의 부정적분을 구할 때 $x=\tan y$로 치환하자.

$$\int {\tan }^{-1}dx=\int y{\sec }^{2}ydy=y\tan y-\int \tan ydy=y\tan y+\ln |\cos y|+C$$

그러므로

$$\int {\tan }^{-1}dx=x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$$