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이항분포(binomial distribution)::::수학과 사는 이야기

이항분포(binomial distribution)

수학이야기/확률통계 2011. 4. 29. 19:42
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X B(n,p) 의 확률분포를 표로 나타내자.(단, q=1p)

평균

평균은 E(X)=nC1pqn1+2nC1p2qn2+3nC3p3qn3++nnCnpn 이다.

E(X)=nr=1rnCrprqnr

(px+q)n의 전개식을 생각하자.

(px+q)n=nC0qn+nC1pxqn1+nC1p2x2qn2+nC3p3x3qn3++nCnpnxn

(px+q)n=nr=0nCrprxrqnr

이를 미분하면

n(px+q)n1p=nr=0rnCrprxr1qnr

x=1 일 때, E(X)=np

분산

V(X)=E(X2)E(X)2이다.

E(X2)=nr=1r2nCrprqnr

①의 양변에 x를 곱하면

xn(px+q)n1p=nr=1rnCrprxrqnr이다.

이를 미분하면

n(px+q)n1p+xn(n1)(px+q)n2p2=nr=1r2nCrprxr1qnr이다.

x=1일 때, E(X2)=np+n(n1)p2

V(X)=E(X2)E(X)2=np+n(n1)p2n2p2=npnp2=np(1p)=npq

V(X)=npq이므로 표준편차는 σ(X)=npq이다.

X B(n,p)

E(X)=np, V(X)=npq, σ(X)=npq

참고 엑셀로 이항확률을 계산할 수 있다. 함수는 BINOM.DIST.RANGE()이다. 

=BINOM.DIST.RANGE(trials,probability_s,number_s,[number_s2])

주사위를 12번 던질 때, 2가 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하자. 확률분포를 구하여라.

위 문제는 성공확률 1/6이므로 P(X=x) = BINOM.DIST.RANGE(x,12,1/6)로 얻을 수 있다. 아래 파일을 열어서 확인해 보자.

 

이항분포와정규분포.xlsx
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이항분포와 정규분포

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