이항분포(binomial distribution)
수학이야기/확률통계 2011. 4. 29. 19:42X B(n,p) 의 확률분포를 표로 나타내자.(단, q=1−p)
평균은 E(X)=nC1pqn−1+2⋅nC1p2qn−2+3⋅nC3p3qn−3+⋯+n⋅nCnpn 이다.
E(X)=n∑r=1r⋅nCrprqn−r
(px+q)n의 전개식을 생각하자.
(px+q)n=nC0qn+nC1pxqn−1+nC1p2x2qn−2+nC3p3x3qn−3+⋯+nCnpnxn
∴(px+q)n=n∑r=0nCrprxrqn−r
이를 미분하면
n(px+q)n−1p=n∑r=0r⋅nCrprxr−1qn−r⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
x=1 일 때, E(X)=np
V(X)=E(X2)−E(X)2이다.
E(X2)=n∑r=1r2⋅nCrprqn−r
①의 양변에 x를 곱하면
xn(px+q)n−1p=n∑r=1r⋅nCrprxrqn−r이다.
이를 미분하면
n(px+q)n−1p+xn(n−1)(px+q)n−2p2=n∑r=1r2⋅nCrprxr−1qn−r이다.
x=1일 때, ∴E(X2)=np+n(n−1)p2
V(X)=E(X2)−E(X)2=np+n(n−1)p2−n2p2=np−np2=np(1−p)=npq
V(X)=npq이므로 표준편차는 σ(X)=√npq이다.
X B(n,p)
E(X)=np, V(X)=npq, σ(X)=√npq
참고 엑셀로 이항확률을 계산할 수 있다. 함수는 BINOM.DIST.RANGE()이다.
=BINOM.DIST.RANGE(trials,probability_s,number_s,[number_s2])
주사위를 12번 던질 때, 2가 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하자. 확률분포를 구하여라.
위 문제는 성공확률 1/6이므로 P(X=x) = BINOM.DIST.RANGE(x,12,1/6)로 얻을 수 있다. 아래 파일을 열어서 확인해 보자.