사이클로이드(cycloid)

사이클로이드란?

구르는 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취를 사이클로이드라고 부른다. 위키백과로 가기

cycloid.ggb

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그림에서 원점과 접해있던 반지름이 1인 원이 $x$축을 따라 $t$만큼 굴러갔을 때 원점과 접해있던 점이 $P$가 되었다고 하자.

점 $P$를 방정식으로 나타내면 $x=t-\sin t, \quad y=1-\cos t$이다.

 

사이클로이드가 가진 성질들

사이클로이드 곡선 위에 있는 어떤 점에서 출발하여도 바닥에 다다르는 시간은 같다. 때문에 등시 곡선이라고도 부른다.

또한 사이클로이드는 가장 빠르게 떨어지는 자취가 된다. 얼핏 생각하면 직선이 거리가 짧으므로 더 빠르다고 여겨질 수 있지만 사이클로이드를 따라 떨어지는 것이 가장 빠르다. 따라서 집을 지을 때 지붕을 사이클로이드가 되도록 올리면 빗물을 가장 빨리 흘려내려 보낼 수 있다. 매나 독수리들이 먹이를 낚아채기 위해 떨어질 때 그리는 자취도 사이클로이드에 가깝다고 한다. 놀이 기차도 직선을 따라 떨어지기보다 사이클로이드를 따라 떨어질 때 더욱 재미있다.

 

갈릴레이가 붙였다는 사이클로이드라는 이름 또한 뭔가 그럴 듯하다. 수학자들은 사이클로이드를 트로이 전쟁까지 일어나게 만든 예쁜 헬레네에 빗대 '기하학의 헬레네'라고도 부른다고 한다.

최단시간 강하곡선과 등추곡선(Brachistochrones and Tautochrones)

위에 있는 사이클로이드를 $x$ 축에 대칭이동하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있는데 이 식으로 재밌는 사실을 증명할 수 있다.

$$x=a(t- \sin t),\;\;y=a(1-\cos t)$$

점 $P(a(t-\sin t),-a(1-\cos t))$에 미치는 중력을 고려하면 원점 $O$에서 바닥점 $B(a\pi,-2a)$에 도착하는 시간이 가장 빠른 곡선이다. 이런 뜻에서 사이클로이드 곡선을 brachistochrones(brah-kiss-toe-krone)로 부른다. 또한 원점을 포함한 어떤 점에서 출발해도 점 $B$에 도달하는 시간은 같다. 추의 주기가 같다는 뜻으로 tautochrones(taw-toe-krone)로 부른다. 여기서 chrone는 시간을 뜻하는 그리스말에서 왔다.

왜 사이클로이드인가?

먼저 출발점이 원점에 놓인 구슬은 속도가 $0$이므로 운동에너지(kinetic energy)가 $0$이다. 구슬이 점 $(0,0)$에서 점 $(x,y)$로 움직인다면 중력에 따른 위치에너지는 운동에너지로 바뀐다.

$$mgy= \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}m(0)^2$$

따라서 점 $(x,y)$에 다다랐을 때 속도는

$$v=\sqrt{2gy}$$

다시 적으면 $ds$를 구슬이 구르는 경로에 따른 미분이라고 할 때.

$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{2gy}$$

$$dt= \frac{ds}{\sqrt{2gy}}=\frac{\sqrt{1+(dy/dx)^2}dx}{\sqrt{2gy}}$$

경로 $y=f(x)$를 따라서 점 $O$에서 점 $B$에 도달하는데 걸리는 시간을 $T_{f}$라고 하면

$$T_f =\int_{x=0}^{x=a\pi}{\sqrt{\frac{1+(dy/dx)^2}{2gy}}}dx$$

직선 $OB$를 따라서 구른다고 하면

$f(x)= (- 2/\pi) x$이므로

$$T_f =\int_{x=0}^{x=a\pi}{\sqrt{\frac{1+(2/\pi)^2}{2g(- 2/\pi)x}}}dx$$이므로 처음에 중력에 따른 초기 속도가 느려서 시간이 더 걸린다. 참고 변수의 미적분(calculus of variations) : 정적분으로 표현된 함수는 피적분 함수가 상수함수일 때 극값을 가진다.

사이클로이드에서

$$dx/dt=a(1-\cos t),\;\;dy/dt=a\sin t$$

이므로 $$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$$

$$\sqrt{1+(dy/dx)^2} {dx}=\sqrt{1+(dy/dx)^2} \frac{dx}{dt}{dt}$$$$=\sqrt{1+\frac{\sin^2 t}{(1-\cos t)^2}}a(1-\cos t)dt=\sqrt{2a^2(1-\cos t)}dt$$

이다. 그러므로

$$\begin{split}T_{cycloid}&=\int_{x=0}^{x=a\pi}{\sqrt{\frac{1+(dy/dx)^2}{2gy}}}dx\\&=\int_{t=0}^{t=\pi}{\sqrt{\frac{2a^2 (1-\cos t)}{2ga(1-\cos t)}}}dt\\&=\int_{t=0}^{t=\pi}{\sqrt{\frac{a}{g}}}dt=\pi \sqrt{\frac{a}{g}}\end{split}$$

이것은 상수함수를 적분하는 것이므로 최솟값을 가진다.

 

이제 출발점을 $(x_0 ,y_0 )$라고 하자.($t_0 >0$)

$$v=\sqrt{2g(y-y_0)}=\sqrt{2ga(\cos t_0 -\cos t)}$$

이다. 따라서

$$\begin{split}T&=\int_{t_0}^{\pi}{\sqrt{\frac{2a^2 (1-\cos t)}{2ga(\cos t_0-\cos t)}}}dt\\&=\sqrt{\frac{a}{g}}\int_{t_0}^{\pi}{\sqrt{\frac{1-\cos t}{\cos t_0 -\cos t}}}dt\\&=\sqrt{\frac{a}{g}}\int_{t_0}^{\pi}{\sqrt{\frac{2\sin^2(t/2)}{(2\cos^2(t_0/2)-1) -(2\cos^2( t/2)-1)}}}dt\\&=\sqrt{\frac{a}{g}}\int_{t_0}^{\pi}{\frac{\sin(t/2)dt}{\sqrt{{\cos^2(t_0/2) -\cos^2( t/2)}}}}\;\;u=\cos(t/2)\;\;-2du=\sin(t/2)dt\;\;c=\cos(t_0/2)\\&=2\sqrt{\frac{a}{g}}\int_{t=t_0}^{t=\pi}{\frac{-2du}{\sqrt{c^2 -u^2}}}\\&=2\sqrt{\frac{a}{g}}\bigg[-\sin^{-1}\frac{u}{c}\bigg]_{t=t_0}^{t=\pi}\\&=2\sqrt{\frac{a}{g}}\bigg[-\sin^{-1}\frac{\cos(t/2)}{\cos(t_0 /2)}\bigg]_{t=t_0}^{t=\pi}\\&=2\sqrt{\frac{a}{g}}(-\sin^{-1}0+\sin^{-1}1)=\pi \sqrt{\frac{a}{g}}\end{split}$$

이다. 여기서 어디에서 출발하든 사이클로이드를 따라 운동하는 구슬은 같은 시각에 바닥에 도착함을 알 수 있다. 사이클로이드를 경로로 하는 진자를 호이겐스 진자(Huygens' pendulum)라고 하는데 이 진자는 주기가 진폭에 상관없이 일정하다.

하이포사이클로이드

하이포사이클로이드(hypocycloid)

다각형 굴리기

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