사이클로이드(cycloid)::::수학과 사는 이야기

사이클로이드(cycloid)

수학이야기/기하벡터 2011. 4. 30. 16:46
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사이클로이드란?

구르는 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취를 사이클로이드라고 부른다. 위키백과로 가기

cycloid.ggb
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그림에서 원점과 접해있던 반지름이 1인 원이 xx축을 따라 tt만큼 굴러갔을 때 원점과 접해있던 점이 PP가 되었다고 하자.

PP를 방정식으로 나타내면 x=tsint,y=1costx=tsint,y=1cost이다.

 

사이클로이드가 가진 성질들

사이클로이드 곡선 위에 있는 어떤 점에서 출발하여도 바닥에 다다르는 시간은 같다. 때문에 등시 곡선이라고도 부른다.

또한 사이클로이드는 가장 빠르게 떨어지는 자취가 된다. 얼핏 생각하면 직선이 거리가 짧으므로 더 빠르다고 여겨질 수 있지만 사이클로이드를 따라 떨어지는 것이 가장 빠르다. 따라서 집을 지을 때 지붕을 사이클로이드가 되도록 올리면 빗물을 가장 빨리 흘려내려 보낼 수 있다. 매나 독수리들이 먹이를 낚아채기 위해 떨어질 때 그리는 자취도 사이클로이드에 가깝다고 한다. 놀이 기차도 직선을 따라 떨어지기보다 사이클로이드를 따라 떨어질 때 더욱 재미있다.

 

갈릴레이가 붙였다는 사이클로이드라는 이름 또한 뭔가 그럴 듯하다. 수학자들은 사이클로이드를 트로이 전쟁까지 일어나게 만든 예쁜 헬레네에 빗대 '기하학의 헬레네'라고도 부른다고 한다.

최단시간 강하곡선과 등추곡선(Brachistochrones and Tautochrones)

위에 있는 사이클로이드를 xx 축에 대칭이동하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있는데 이 식으로 재밌는 사실을 증명할 수 있다.

x=a(tsint),y=a(1cost)x=a(tsint),y=a(1cost)

P(a(tsint),a(1cost))P(a(tsint),a(1cost))에 미치는 중력을 고려하면 원점 OO에서 바닥점 B(aπ,2a)B(aπ,2a)에 도착하는 시간이 가장 빠른 곡선이다. 이런 뜻에서 사이클로이드 곡선을 brachistochrones(brah-kiss-toe-krone)로 부른다. 또한 원점을 포함한 어떤 점에서 출발해도 점 BB에 도달하는 시간은 같다. 추의 주기가 같다는 뜻으로 tautochrones(taw-toe-krone)로 부른다. 여기서 chrone는 시간을 뜻하는 그리스말에서 왔다.

왜 사이클로이드인가?

먼저 출발점이 원점에 놓인 구슬은 속도가 00이므로 운동에너지(kinetic energy)가 00이다. 구슬이 점 (0,0)(0,0)에서 점 (x,y)(x,y)로 움직인다면 중력에 따른 위치에너지는 운동에너지로 바뀐다.

mgy=12mv212m(0)2mgy=12mv212m(0)2

따라서 점 (x,y)(x,y)에 다다랐을 때 속도는

v=2gyv=2gy

다시 적으면 dsds를 구슬이 구르는 경로에 따른 미분이라고 할 때.

dsdt=2gydsdt=2gy

dt=ds2gy=1+(dy/dx)2dx2gydt=ds2gy=1+(dy/dx)2dx2gy

경로 y=f(x)y=f(x)를 따라서 점 OO에서 점 BB에 도달하는데 걸리는 시간을 TfTf라고 하면

Tf=x=aπx=01+(dy/dx)22gydxTf=x=aπx=01+(dy/dx)22gydx

직선 OBOB를 따라서 구른다고 하면

f(x)=(2/π)xf(x)=(2/π)x이므로

Tf=x=aπx=01+(2/π)22g(2/π)xdxTf=x=aπx=01+(2/π)22g(2/π)xdx이므로 처음에 중력에 따른 초기 속도가 느려서 시간이 더 걸린다. 참고 변수의 미적분(calculus of variations) : 정적분으로 표현된 함수는 피적분 함수가 상수함수일 때 극값을 가진다.

사이클로이드에서

dx/dt=a(1cost),dy/dt=asint

이므로 dydx=sint1cost

1+(dy/dx)2dx=1+(dy/dx)2dxdtdt=1+sin2t(1cost)2a(1cost)dt=2a2(1cost)dt

이다. 그러므로

Tcycloid=x=aπx=01+(dy/dx)22gydx=t=πt=02a2(1cost)2ga(1cost)dt=t=πt=0agdt=πag

이것은 상수함수를 적분하는 것이므로 최솟값을 가진다.

 

이제 출발점을 (x0,y0)라고 하자.(t0>0)

v=2g(yy0)=2ga(cost0cost)

이다. 따라서

T=πt02a2(1cost)2ga(cost0cost)dt=agπt01costcost0costdt=agπt02sin2(t/2)(2cos2(t0/2)1)(2cos2(t/2)1)dt=agπt0sin(t/2)dtcos2(t0/2)cos2(t/2)u=cos(t/2)2du=sin(t/2)dtc=cos(t0/2)=2agt=πt=t02duc2u2=2ag[sin1uc]t=πt=t0=2ag[sin1cos(t/2)cos(t0/2)]t=πt=t0=2ag(sin10+sin11)=πag

이다. 여기서 어디에서 출발하든 사이클로이드를 따라 운동하는 구슬은 같은 시각에 바닥에 도착함을 알 수 있다. 사이클로이드를 경로로 하는 진자를 호이겐스 진자(Huygens' pendulum)라고 하는데 이 진자는 주기가 진폭에 상관없이 일정하다.

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