다각형을 굴릴 때 꼭짓점이 그리는 자취를 '사이클로곤(cyclogon)'이라 부른다. 원을 굴릴 때 그려지는 사이클로이드를 생각하면 쉽다.
정삼각형을 직선 위에서 굴릴 때
정사각형을 직선 위에서 굴릴 때
고려대학교 논술이 이젠 사라졌지만 2014학년도 자연계 논술문제로 출제된 적이 있다. 문제는 아래와 같다.
제시문을 읽고 물음에 답하시오.
가) 그림 1과 같이 둘레의 길이가 $1$인 정삼각형 $ABC$를 직선 $l$ 위에서 한 바퀴 굴린다. 이때 꼭짓점 $A$는 꼭짓점 $C$를 중심으로 하는 원의 호를 따라 $A^{\prime}$의 위치로 이동한 후 다시 점 $B^{\prime}$를 중심으로 하는 원의 호를 따라 $A^{\prime\prime}$의 위치로 이동한다.
나) 그림 2와 같이 둘레의 길이가 $1$인 정사각형 $ABCD$를 직선 $l$위에서 한 바퀴 굴러 정사각형 $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}D^{\prime\prime}$의 위치에 도달한다.
1. 제시문 가)에서 꼭짓점 $A$가 움직인 거리를 구하시오.
2. 제시문 나)에서 꼭짓점 $A$가 움직인 거리를 구하시오.
3. 둘레의 길이가 $1$인 정$n$각형 $A_1A_2\cdots A_n$에서 선분 $A_k A_n$의 길이를 구하시오. (단, $1\leq k \leq n-1$)
4. 둘레의 길이가 $1$인 정$n$각형을 직선 위에서 한 바퀴 굴릴 때 한 꼭짓점이 움직인 거리 $d_n$과 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}d_n}$을 구하시오.
