지수함수와 삼각함수가 하나다

고등학교 교육과정에서 사라진 극형식에 대한 글을 쓰며 내친김에 오일러 공식도 다루고자 한다. 자연로그의 밑으로 쓰는 상수 $e$를 흔히 오일러의 수로 부른다. 오일러 상수가 들어간 오일러 공식은 많은 이가 아름다운 수식으로 손꼽는다. 수학, 공학, 물리학에서 널리 쓰이는 아주 중요한 공식이다. 먼저 공식을 구경하자.

$$e^{i\phi}=\cos \phi +i\sin \phi$$

아름다움이 느껴지는가? 머리만 아픈가? 당장 지수에 웬 복소수라는 생각을 할 것이다. 그렇다 머리가 좀 아프긴 하다. 지수를 복소수까지 넓히고 있다. 진짜 아름다움은 아무나 쉽게 느낄 수 없다. 대학에서 미적분을 조금만 더 깊이 공부하면 테일러 급수로 간단하게 증명할 수 있다.

여기선 고등학생을 위해 대충 보여주려고 한다. 먼저 삼각함수의 덧셈정리와 복소수의 극형식을 써서 복소수 곱셈을 손쉽게 하는 공식을 끌어내자.

두 복소수 $z_1 ,z_2$를 극형식으로 바꾸고 곱셈을 한다.

$$z_1 =a_1 +b_1 i=r_1 (\cos \phi_1 +i\sin \phi_1 ),\;\;\;z_2 =a_2 +b_2 i=r_2 (\cos \phi_2 +i\sin \phi_2 )$$

$$\begin{split}z_1 z_2 &=r_1 r_2 (\cos \phi_2 +i\sin \phi_2 )(\cos \phi_1 +i\sin \phi_1)\\& =r_1 r_2 \{ \cos \phi_1 \cos \phi_2 -\sin \phi_1 \sin \phi_2+i(\sin \phi_1 \cos\phi_2 +\cos\phi_1 \sin\phi_2) \}\\&=r_1 r_2 \{\cos (\phi_1 +\phi_2 )+i\sin (\phi_1 +\phi_2 )\}\end{split}$$

이를 써서

$$z^n =\{r(\cos\phi +i\sin\phi)\}^n =r^n (\cos n\phi +i\sin n\phi)$$

처럼 멋지게 셈할 수 있다. 이를 드 므아브르의 정리로 부른다.

오일러 수 $e$는 수열 $\displaystyle{\{\bigg(1+ \frac{1}{n}\bigg)^n \}}$의 극한이다.

$$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}{\bigg(1+ \frac{1}{n}\bigg)^n }=e}$$

$$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}{\bigg(1+ \frac{t}{n}\bigg)}^{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}{\bigg(1+ \frac{t}{n}\bigg)^{\frac{n}{t}\cdot t} }=e^t}$$

$t=i \phi$ 일 때를 생각하자.

먼저 복소수 $\displaystyle{1+\frac{i \phi}{n}}$의 크기와 편각을 $r_n$, $\theta_n$로 놓고 극형식으로 고쳐 셈한다.

$$\bigg(1+\frac{i\phi}{n}\bigg)^n ={r_n}^n (\cos n\theta_n +i \sin n\theta_n)$$ 이다.

이제 $n \rightarrow \infty$일 때, 극한값을 살펴보자.

$\displaystyle{r_n =\sqrt{1+\bigg(\frac{\phi}{n}\bigg)^2}}$의 극한값은 $1$이다.

$\theta_n$은 아주 작아진다.

$$\lim_{\theta\rightarrow0} \frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

이므로 

$$\theta_{n} =\sin \theta_{n} =\frac{\frac{\phi}{n}}{r_n}=\frac{\phi}{n}$$

이다.

$$\displaystyle{\therefore \lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(1+\frac{i\phi}{n}\bigg)^n =\lim_{n\rightarrow\infty} {r_n}^n (\cos n\theta_n +i \sin n\theta_n)}$$

$$e^{i\phi}=\cos \phi +i\sin \phi$$  

증명끝.

$$e^{-i\phi}=\cos \phi -i\sin \phi$$

이므로

두 식을 더해 $$\cos\phi =\frac{1}{2}( e^{i\phi}+e^{-i\phi})$$ 와 같이 지수함수와 삼각함수가 다르지 않은 하나임을 알 수 있다.