집합의 크기(cardinality)
수학이야기 2014. 12. 2. 16:50정의1 집합 S가 자연수의 일부분 {1,2,3,⋯,n}과 사이에 전단사 함수(일대일 대응)가 존재하면 집합 S는 유한(finite) 집합이고 n이 집합의 크기(cardinality)이다. 기호로는 |S|=n 또는 n(S)=n으로 적는다. 유한이 아니면 무한(infinite) 집합이다.
정의2 |A|=|B|⟺∃f:A→B;f는 전단사 함수(일대일 대응)
정의3 어떤 집합 S와 N 사이에 전단사 함수(일대일 대응)이 존재한다면 번호를 매길 수 있는 (denumerable 또는 enumerable) 집합이라고 한다. 유한집합이거나 번호를 매길 수 있을 때 셀 수 있다(countable)고 하고 자연수와 사이에 전단사 함수(일대일 대응)가 존재하지 않는다면 셀 수 없다(uncountable)고 한다.
무한집합인 전체 자연수의 집합의 크기는 |N|=ℵ0로 적는다.
(ℵ는 히브리말 알파벳 첫 번째 글자로 ℵ0는 알레프 널(aleph null)이라고 읽는다.)
보기
1. 모든 양의 홀수의 집합 S={y|y=2n−1,n∈N}은 셀 수 있는 집합이다.
f:N→S:f(n)=2n−1이라고 하면
1) ∀m,n∈Sf(m)=f(n)⇒2m−1=2n−1⇒m=n이므로 함수 f는 단사 함수(one-to-one)이다.
2) ∀t∈S에 대하여 t=2k−1=f(k)이므로 f(N)=S이다. 다시 말해 함수 f는 전사 함수(onto)이다.
1) 2)에 의해 함수 f는 전단사 함수(one-to-one correspondence)이다.
∴|S|=ℵ0이다.
2. 모든 양의 유리수의 집합 Q+은 셀 수 있는 집합이다. 왼쪽 그림은 유리수를 배열하는 방법을 나타낸 것이다. 모든 유리수는 기약분수로 적을 수 있다.
먼저 분모가 n인 모든 기약분수를 n번 째 줄에 적는다.
동그라미 친 것은 이들 가운데 중복되는 것을 제외한 것이다.
화살표를 따라 다시 배열하면
11,12,21,31,13,14,23,32,41,⋯
이다.
ba에서 분모와 분자의 합 a+b가 같은 것끼리 차례로 적은 수열로 볼 수 있다.
그러므로 |Q+|=ℵ0이다.
이 그림에서 아래 정리를 쉽게 이해할 수 있다.
정리 A와 B가 셀 수 있으면 A∪B도 셀 수 있다. 셀 수 있는 집합 유한 개의 합집합은 셀 수 있는 집합이다.
정리 셀 수 있는 집합의 부분집합은 모두 셀 수 있는 집합이다.
3. 실수 전체의 집합 R은 셀 수 없는 집합이다.
S={x|0<x<1,x∈R}이 셀 수 있는 집합이라고 하면 번호를 매길 수 있다.
소수 표현을 적고 번호를 매겼다고 하자. aij∈{1,2,3,⋯,9}(i,j∈N)
x1=0.a11a12a13a14a15⋯
x2=0.a21a22a23a24a25⋯
x3=0.a31a32a33a34a35⋯
⋮
xn=0.an1an2an3an4an5cdots
⋮
이제 새로운 소수표현을 생각하자.
x=0.a1a2a3a4⋅
ai={4aii≠45aii=4
x는 ∀n∈N,x≠xn이다.(∵ai≠aii)
모든 실수는 단 하나의 소수표현을 가지고 있으므로 S가 셀 수 있다는 가정이 거짓이다.
셀 수 없는 부분집합을 가지는 집합은 셀 수 없는 집합이므로 실수의 집합 R은 셀 수 없는 집합이다.
양의 정수의 집합 Z+의 멱집합과 실수의 집합 R은 같은 크기를 갖는다. 위 증명을 참고하자. 양의 정수의 멱집합은 소수표현과 같은 크기이다. |P(Z+)|=|R|=c(c는 실수 집합의 크기)
참고 멱집합(power set) 어떤 집합 A의 모든 집합을 원소로 가지는 집합을 집합 A의 멱집합이라고 하고 P(A)로 적는다.
예 A={1,2}라면 P(A)={ϕ,{1},{2},{1,2}}이다. 한편 멱집합의 크기는 |P(A)|=2|A|이다.
여러 가지로 무한집합의 크기는 독특하다. 자연수 집합과 정수의 집합의 크기가 같다. 전체가 부분보다 크다는 공리가 성립하지 않는다. 오죽하면 칸토어마저 신의 영역을 침범한 것이 아닐까 걱정하였을까?
칸토어는 어떤 집합의 크기는 그 집합의 멱집합의 크기보다 항상 작음을 증명하였다.
|Z+|<|P(Z+)|
다시 적으면
ℵ0<2ℵ0
ℵ0과 c 사이에 기수(집합의 크기)가 존재하지 않는다는 가설이 연속체 가설이다. 다시 말하면 ℵ0<|A|<c인 집합 A가 존재하지 않는다는 가설이다.
무한 집합의 기수로 ℵ0<ℵ1<ℵ2<⋯처럼 무한수열을 만들자. 연속체 가설이 참이라고 가정하면 c=ℵ1이므로 2ℵ0=ℵ1=c이다.
칸토어가 1877년에 제시한 연속체 가설은 증명되지 않아 아직도 가설에 머물러 있다. 힐베르트가 제시한 "수학에서의 23개 난제" 가운데 첫 번째 문제이기도 하다. 그런데 이 문제는 현대 표준 집합 이론으로는 참인지 거짓인지 증명할 수 없다는 (Zermelo-Fraenkel 공리)가 알려져 있다. 이 공리는 러셀의 역설과 같은 순박한 집합론(naive set theory)의 자기모순을 피하기 위한 것이지만 이것들 역시 집합론에서 다른 공리들을 대체할 수 있는가에 대한 논의는 아직 숙제로 남아 있다.
자연수에 음의 정수를 합쳐도 정수에 분수까지 더한 유리수 집합도 여전히 셀 수 있다. 그런데 무리수를 더하는 순간 셀 수 없게 된다. 역시 무리수다. 유리수는 조밀하지만 틈이 있다. 이 틈을 꽉 채운 완비(complete)에 이르게 해주는 무리수만 완벽하게 파헤칠 수 있다면 실수체를 훤히 들여다 보고 많은 난제를 해결할 수 있을 것이다.
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