타원을 극좌표로 나타내 보자.

타원은 두 정점에서 거리가 같은 점의 집합이다. 그림과 같은 타원은 $$\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=2a$$을 만족한다.

$$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x+2c{)}^2+y^2}=2a$$

$$\sqrt{(x+2c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{x^2+y^2}$$

$$x^2+4xc+4c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{x^2+y^2}+(x^2+y^2)$$

$$xc+c^2=a^2-a\sqrt{x^2+y^2}$$

$$a\sqrt{x^2+y^2}=a^2-(xc+c^2)$$

$$a^2(x^2+y^2)=a^4-2a^2(xc+c^2)+(xc+c^2{)}^2$$

$$a^2(x^2+y^2)=a^4-2a^2(xc+c^2)+(x^2{c}^2+2x{c}^3+c^4)$$

$$(a^2-c^2)(x^2+2xc+c^2)+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)$$

$b^2=a^2-c^2$이라고 하여 정리하면

$$\frac{(x+c{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

먼저 정리를 위해 상수 $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$을 정해두자. 다시 적으면 $b^2 =a^2(1-e^2)$이고 $\displaystyle{e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}= \frac{c}{a}}$

그림과 같이 $r$과 $\theta$를 매개변수로 하여 극좌표로 바꾸어 보자.

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$이므로 주어진 방정식에 넣어서 정리하자.

$$\frac{(r\cos \theta +c{)}^2}{a^2}+\frac{(r\sin \theta {)}^2}{b^2}=1$$

$b^2 =a^2(1-e^2)$를 대입하여 정리하자.

$$a^2(1-e^2)(r\cos \theta +c{)}^2+a^2(r\sin \theta {)}^2=a^2\cdot a^2(1-e^2)$$

$$(1-e^2)(r\cos \theta +c{)}^2+(r\sin \theta {)}^2=a^2(1-e^2)$$

$$(1-e^2)(r^2{\cos }^2\theta +2rc\cos \theta +c^2)+r^2(1-{\cos }^2\theta )=a^2(1-e^2)$$

$c=ae$를 넣어서 정리하자.

$$(1-e^2)r^2{\cos }^2\theta +2(1-e^2)rc\cos \theta +(1-e^2)c^2)+r^2-r^2{\cos }^2\theta =a^2(1-e^2)$$

$$r^2=e^2{r}^2{\cos }^2\theta -2(1-e^2)r(ae)\cos \theta +a^2(1-e^2{)}^2$$

$$r^2=(er\cos \theta -a(1-e^2){)}^2$$

$$r=\pm (er\cos \theta -a(1-e^2))$$

$r>0$이므로

$$r=-er\cos \theta +a(1-e^2)\cdots \cdots (1)$$

$$r+er\cos \theta =a(1-e^2)$$

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$$

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$$

(1)에서 $ek=a(1-e^2)$이라고 하자.

$$r=ek-er\cos \theta =e(k-r\cos \theta )\cdots \cdots (1{)}^{\prime }$$

$$\frac{r}{(k-r\cos \theta )}=e$$

$P$에서 $x=k$에 내린 수선의 발을 $D$라고 하면

$$\frac{\overline{PF}}{\overline{PD}}=e$$라는 식을 얻을 수 있다. 이에 따르면 타원은 한 정점 $F$와 정직선 $x=k$에 이르는 거리의 비가 일정한 점의 집합으로 해석할 수 있다. 포물선과 쌍곡선도 마찬가지로 해석하면

$$\overline{PF}:\overline{PD}=e:1$$이다.

원뿔곡선은 모두 극좌표로 같은 꼴의 방정식으로 표현된다.

$$r=\frac{ke}{1+e\cos \theta }$$

여기서 $e$를 이심률이라고 부른다. 이심률에 따라 원뿔곡선을 분류하면 아래와 같다.

$$0<e<1ellipse,e=1parabolar,1<ehyperbolar$$

$$e=\frac{1}{2}ellipser=\frac{k}{2+\cos \theta }$$

$$e=1parabolarr=\frac{k}{2+\cos \theta }$$

$$e=2hyperbolarr=\frac{2k}{1+2\cos \theta }$$

원은 $e=0 $으로 생각하여 $r=2$와 같은 꼴이라고 이해하자.