타원을 극좌표로 나타내 보자.

타원은 두 정점에서 거리가 같은 점의 집합이다. 그림과 같은 타원은 $$\overline{PF}+\overline{PF^{\prime}}=2a$$ 을 만족한다.

$$\sqrt{x^2 +y^2}+\sqrt{(x+2c)^2 +y^2}=2a$$

$$\sqrt{(x+2c)^2 +y^2}=2a-\sqrt{x^2 +y^2}$$

$${x^2+4xc+4c^2 +y^2}=4a^2-4a\sqrt{x^2 +y^2}+(x^2+y^2)$$

$${xc+c^2 }=a^2-a\sqrt{x^2 +y^2}$$

$$a\sqrt{x^2 +y^2} =a^2-{(xc+c^2) }$$

$$a^2({x^2 +y^2}) =a^4-2a^2{(xc+c^2) }+(xc+c^2)^2$$

$$a^2({x^2 +y^2}) =a^4-2a^2{(xc+c^2) }+(x^2c^2+2xc^3+c^4)$$

$$(a^2 -c^2)(x^2 +2xc+c^2)+a^2 y^2=a^2 (a^2-c^2)$$

$b^2=a^2-c^2$이라고 하여 정리하면

$$\frac{(x+c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

먼저 정리를 위해 상수 $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$ 을 정해두자. 다시 적으면 $b^2 =a^2(1-e^2)$이고 $\displaystyle{e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}= \frac{c}{a}}$

그림과 같이 $r$과 $\theta$를 매개변수로 하여 극좌표로 바꾸어 보자.

$$x=r\cos\theta,\quad\quad y=r \sin \theta$$ 이므로 주어진 방정식에 넣어서 정리하자.

$$\frac{(r\cos\theta+c)^2}{a^2}+\frac{(r \sin \theta)^2}{b^2}=1$$

$b^2 =a^2(1-e^2)$를 대입하여 정리하자.

$$a^2(1-e^2){(r\cos\theta+c)^2}+{a^2}{(r \sin \theta)^2}=a^2 \cdot a^2(1-e^2)$$

$$(1-e^2){(r\cos\theta+c)^2}+{(r \sin \theta)^2}=a^2(1-e^2)$$

$$(1-e^2){(r^2\cos^2\theta+2rc\cos\theta+c^2)}+{r^2 (1-\cos^2 \theta)}=a^2(1-e^2)$$

$c=ae$를 넣어서 정리하자.

$$(1-e^2) r^2\cos^2\theta+2 (1-e^2) rc\cos\theta+ (1-e^2) c^2)+r^2-r^2\cos^2 \theta=a^2(1-e^2)$$

$$r^2=e^2 r^2\cos^2\theta- 2(1-e^2) r (a e)\cos\theta+a^2(1-e^2)^2$$

$$r^2=(e r\cos\theta-a(1-e^2))^2$$

$$r=\pm(e r\cos\theta-a(1-e^2))$$

$r>0$이므로

$$r=-e r\cos\theta+a(1-e^2)\quad\quad\cdots\cdots(1)$$

$$r+e r\cos\theta=a(1-e^2)$$

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$

(1)에서 $ek=a(1-e^2)$이라고 하자.

$$r=ek-e r\cos\theta=e(k-r\cos\theta)\quad\quad\cdots\cdots(1)^{\prime}$$

$$\frac{r}{(k-r\cos\theta)}=e$$

$P$에서 $x=k$에 내린 수선의 발을 $D$라고 하면

$$\frac{\overline{PF}}{\overline{PD}}=e$$ 라는 식을 얻을 수 있다. 이에 따르면 타원은 한 정점 $F$와 정직선 $x=k$에 이르는 거리의 비가 일정한 점의 집합으로 해석할 수 있다. 포물선과 쌍곡선도 마찬가지로 해석하면

$$\overline{PF}:\overline{PD}=e:1$$ 이다.

원뿔곡선은 모두 극좌표로 같은 꼴의 방정식으로 표현된다.

$$r=\frac{ke}{1+e\cos\theta}$$

여기서 $e$를 이심률이라고 부른다. 이심률에 따라 원뿔곡선을 분류하면 아래와 같다.

$$0<e<1 \quad ellipse  ,\quad  e=1 \quad parabolar,\quad 1<e \quad hyperbolar$$

$$e=\frac{1}{2}\quad  ellipse  \quad r=\frac{k}{2+\cos\theta}$$

$$e=1 \quad parabolar \quad r=\frac{k}{2+\cos\theta}$$

$$e={2}\quad  hyperbolar  \quad r=\frac{2k}{1+2\cos\theta}$$

원은 $e=0$으로 생각하여 $r=2$와 같은 꼴이라고 이해하자.