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수학과 사는 이야기

수학이야기/미적분

수열 $\lim_{n\rightarrow\infty} x^n/n!$

수학이야기/미적분 2018. 6. 4. 23:09

수학이야기/미적분 2018. 6. 4. 17:02

일반 물리학 책에 나오는 저항-인덕턴스 회로를 정리해 보자. 그림과 같은 회로에서 전압은 아래와 같은 미분방정식으로 표현할 수 있음이 알려져 있다. $$L\frac{di}{dt}+Ri=V$$여기서 $R$은 저항, $L$은 인덕턴스에 따라 결정되는 상수이고 $V$는 전압, $i$는 전류를 나타낸다. 저항에 따른 전압은 옴의 법칙에 따라 전류 세기에 비례하고 ($V_R =Ri$) 코일을 감은 인덕턴스에 따른 전압은 패러데이 법칙에 따라 전류 세기의 변화량에 비례한다.($\displaystyle{V_L =L\frac{di}{dt}}$) 자세한 설명은 물리 시간에 배워야 할 듯하다. 수학 시간엔 주어진 미분방정식을 풀기만 하면 되는데 위 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 적분인자를 찾기 위해 정리하면 다음과 ..

#9 1차 미분방정식(First-Order Differential Equations)

수학이야기/미적분 2018. 5. 29. 14:54

미리보기 우리가 실제로 만나는 많은 문제는 수학 공식으로 만들려 하면 미분방정식이 세워진다. 앞 선 단원에서 직선 위 운동, 인구 성장, 방사성 원소 붕괴, 낮은 온도의 매개체에 놓인 물체가 냉각되는 현상을 공부하였다. 4.8 단원에서 $dy/dx=f(x)$와 같은 꼴을 소개하였다. 함수 $f$가 연속인 구간이 있다면 바로 적분하여 $y=\int f(x)dx$ 일반해를 구할 수 있다. 다음으로 7.2 단원에서 $dy/dx=f(x,y)$과 같은 꼴인 미분방정식을 공부했다. 여기서 $x$는 독립변수이고 $y$는 종속변수이며 두 변수를 따로 떼어 놓을 수 있는 분리형(Separable) 문제를 배웠다. 9 장에서는 1차 미분방정식(일계 도함수만 포함된)이지만 조금 더 확장된 꼴을 공부한다. 간단한 전기 회로(..

csch^{-1}u 미분과 적분

수학이야기/미적분 2018. 5. 18. 15:59

하이퍼볼릭 함수도 귀찮은데 역함수를 미분하고 적분하는 것은 더욱 귀찮다. 그래도 차근차근 하면 쉬운데 그냥 외우려다 보면 많이 어렵다. 절댓값이 나오는 까닭을 묻는 학생이 있어서 올려둔다.먼저 $csch^{-1} u$는 역함수 미분법으로 도함수를 찾을 수 있다. 제곱근을 푸는 과정에서 부호를 생각해 보면 절댓값이 나오는 까닭을 확인할 수 있다.

수학이야기/미적분 2018. 5. 18. 14:33

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