'수학이야기/미적분' 카테고리의 글 목록 (6 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/미적분

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Differentials(미분변수)
수학이야기/미적분 2018. 3. 23. 14:02
$y$를 $x$에 대하여 미분한 도함수를 라이프니츠 식으로 $dy/dx$로 쓴다. 이 때 dy dx로 읽는 까닭은 쓰여진 것과 달리 단순한 비(ratio)가 아니라 $y$를 $x$에 대하여 미분했음을 뜻하기 때문이다. 비가 도함수와 같아지게 새로운 변수 $dx$와 $dy$를 정의하자.Definition Let $y=f(x)$ be a differentiable function. The differential dx is an independent variable. The differential dy is$$dy=f^{\prime}(x)dx$$미분 가능한 함수 $y=f(x)$에서 독립변수 $dx$를 정하면 종속변수 $dy$는 $dy=f^{\prime}(x)dx$로 정하는 것이다. 기하적 의미를 알아보자.먼저..
The Limit Laws
수학이야기/미적분 2018. 3. 19. 12:08
The Precise Definition of a Limit 볼짜노(Bernard Bolzano)는 $\varepsilon-\delta$ 를 써서 아래와 같이 극한을 정의했다. Defninition Let $f(x)$ be defined on an open intervaal about $c$, except possibly at $c$ itself. We say that the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $x_0$ is the number L, and write $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$$ if $\forall \varepsilon >0$, there exists a corresponding number $ \delta >0$ such that..
아스트로이드(astroid)
수학이야기/미적분 2017. 11. 22. 15:39
아스트로이드(astroid)는 별 모양으로 생긴 곡선이다. 이 별 모양 곡선은 1691~92년에 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 처음으로 제시하였다. 1715년 라이프니츠의 서신에도 나타난다. 이것은 4개의 뾰족점을 가지고 있어서 때때로 사첨체라고 불린다. 아스트로이드라는 이름은 1836년에 비엔나에서 출판된 책에 등장한다. 아스트로이드는 1836년 이후에도 입방사이클로이드(cubocycloid)와 파라사이클(paracycle)을 포함하여 문헌에서 다양한 이름으로 알려졌다. 아스트로이드를 그리는 여러 가지 방법 원에 내접하는 원을 굴려서 그리기 반지름이 $1$인 원 안에 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{4}}$인 원이 내접하고 있다고 하자. 아래와 같이 내접하는 원을 ..
역함수의 부정적분
수학이야기/미적분 2017. 11. 15. 15:00
역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자. 지수함수 $f(x)=e^x$의 역함수는 $f^{-1}(x)=\ln x$이다. $$\int f^{-1}(x) dx=\int \ln x dx$$에서 $x=e^t$으로 치환하면 $\displaystyle{\frac{dx}{dy}=e^y}$이므로 주어진 부정적분은 $$=\int y e^y dy=y e^y -\int e^y dy=y e^y -e^y +C=x\ln x-x+C$$이다. 정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다. $$\int f^{-1}(x) dx=\int f^{-1}(f(y))f^{\prime}(y)dy=\int x f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy$$ 함수 $y=\tan^{-1} x$의 부정적분..
미분으로 할 수 있는 일 2
수학이야기/미적분 2017. 11. 10. 17:54
함수 그래프의 오목과 볼록 그림과 같이 함수 $\displaystyle{y=\frac{1}{10}x^3}$의 그래프는 $(-\infty,0)$에서는 위로 볼록(아래로 오목)하고 $(0,\infty)$에서는 아래로 볼록(위로 오목)하다. 참고 볼록함수와 젠센 부등식 보통 함수의 그래프 위에 있는 임의의 두 점을 잇는 직선보다 곡선이 아래 쪽으로 내려와 있으면 아래로 볼록 또는 위로 오목하다고 한다. 마찬가지로 곡선이 직선보다 위 쪽에 있다면 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 한다. 그림에 표현했듯이 미분가능한 함수 $f$의 그래프가 아래로 볼록하면 도함수 $f^{\prime}$는 증가함수이고 위로 볼록하면 감소함수이다. 따라서 함수 그래프의 요철은 이계도함수를 보고 알 수 있다. 함수 $y=f(x)$가 구..

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