'수학이야기/미적분' 카테고리의 글 목록 (7 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/미적분

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미분으로 할 수 있는 일 1
수학이야기/미적분 2017. 11. 9. 16:41
접선의 방정식 미분계수는 접선의 기울기이므로 먼저 접선을 구할 수 있다. 함수 $y=f(x)$ $x=a$에서 미분가능하다고 하자. 점 $(a,f(a)$에서 접선의 방정식은 아래와 같다. $$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$$ 함수 $y=\sin x$의 도함수는 $y^{\prime}=\cos x$이다. 따라서 $x=\pi$일 때 접선의 방정식은 $y=-x+\pi$이다. 그림에서 보이듯이 $\varepsilon$이 충분히 작다면 $x=a$를 포함한 구간 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$에서 두 함수의 그래프가 아주 비슷하다. 정리하면 곡선과 아주 비슷한 직선을 찾을 수 있으므로 미분으로 복잡한 함수를 간단한 1차 함수로 바꿔서 다룰 수 있게 된다. 함수의 증가와 감소 ..
질량 중심(center of mass)
수학이야기/미적분 2017. 11. 8. 15:20
물체는 마치 질량이 한 점에 모여 있는 것처럼 운동한다. 이 점이 질량중심(center of mass)이다. 직선에 놓인 질량중심 아래와 같이 지렛대가 놓인 받침점을 원점으로 하여 좌표 $x_k$인 점에 질량 $m_k$이 놓여 있다고 가정하자.($k=1,2,3$) 각 질량 $m_k$에 아래쪽으로 중력이 작용한다. 중력가속도 $g$가 작용하여 원점을 중심으로 회전하려는 힘이 생긴다. 이 힘을 토크(torque)로 부르는데 크기는 $m_k g$이고 부호는 위치 $x_k$에 따라 결정된다. 양이면 시계방향으로 음이면 반시계방향으로 회전한다. 토크를 모두 더한 값이 시스템 토크다. (참고 토크 $\tau$는 변위 벡터 $r$과 힘 $F$의 외적이다. $\tau=r\times F$ 따라서 토크는 벡터다. 편하게 ..
역삼각함수 그리고 삼각치환
수학이야기/미적분 2017. 11. 1. 14:14
아래와 같이 삼각함수의 정의역을 알맞게 정해주면 1-1 대응 함수로 생각할 수 있다.이렇게 정의역을 축소한 삼각함수는 역삼각함수가 존재한다. $\sin^{-1}x$는 $arcsin x$로 적고 아크사인으로 읽기도 한다. 역삼각함수의 미분 역함수의 미분법으로 역삼각함수를 미분해 보자.$$y=\sin^{-1}x$$$$\sin y =x$$$$\cos y \frac{dy}{dx}=1$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}x)}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}$$같은 방법으로 구한 역삼각함수의 도함수를 정리하면 아래와 같다.$$\frac{d}{dx} \sin^{-1}x..
Line Integrals in Conservative Fields
수학이야기/미적분 2016. 10. 31. 19:37
정의 공간에 있는 열린 영역 $D$에서 정의된 벡터장 $F$와 $D$에 있는 임의의 두 점 $A,B$이 있을 때, 점 $A$에서 시작하여 $B$에서 끝나는 모든 곡선 $C$를 따라 적분하는 선적분 $\int_{C}F\cdot dr$의 값이 모두 같다면 $\int_{C}F\cdot dr$는 $D$에서 경로 독립(path independent)이고 벡터장 $F$는 보존(conservative)장이라고 한다. 정의 벡터장 $F$가 영역 $D$에서 정의되고, 영역 $D$에서 정의된 어떤 스칼라 함수 $f$에 대하여 $F=\nabla f$를 만족한다면 $f$를 $F$를 위한 포텐셜(potential) 함수라고 부른다. 선적분의 기본 정리 영역 $D$에서 정의된 점 $A$에서 시작하여 $B$에서 끝나는 매끄러운 곡..
7. Integrals and Transcendental Functions
수학이야기/미적분 2016. 5. 10. 16:35
보통 $y=\ln x$를 $y=e^x$의 역함수로 정의한다. 이 때, 오일러 상수 $e$는 지수함수 $y=a^x\;\;(a>0)$에서 $x=0$일 때, 접선의 기울기가 $1$이 되도록 하는 밑으로 정의한다. $x$가 유리수라면 $a^x$는 직관적으로 잘 정의할 수 있지만 무리수라면 어렵다. 이 장에서는 다른 관점으로 정의하여 $y=e^x$를 $y=\ln x$의 역함수로 다루려고 한다. 처음에는 낯설지만 매우 우아하고 강력한 성질을 얻을 수 있다. Definition The national logarithm is the function given by $$\ln x =\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt, \quad x>0$$ Definition The number $e$ is that numb..

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