2021학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리가형 29번

29.

흰 공 4개와 검은 공 6개를 세 상자 A, B, C에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 2개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)[4점]

풀이)

같은 색 공끼리 구별하지 않으므로 중복조합을 써서 해결하는 문제임을 단박에 알 수 있다. 아래 그림과 같이 공을 넣는 것은 공 색깔이 같다면 A, B, C에서 중복을 허락해서 뽑는 것과 똑같다. 무기명 투표를 생각하면 된다.

각 상자에 공이 2개이상씩 들어가야 하므로 미리 2개씩 넣어 놓기로 하자. 단계를 나누어 계산하자.

[1단계] 흰 공이 더 적으므로 먼저 흰 공을 구별해서 넣는 방법을 생각하자. 상자 이름은 신경 쓰지 말고 개수만 생각하자. 

(1)과 같은 경우: 흰 공 2개가 들어가는 상자를 고르는 방법 3가지

(2)와 같은 경우: 흰 공이 들어가지 않는 상자를 고르는 방법 3가지

(3)과 같은 경우: 흰 공 3개, 2개 들어가는 상자를 고르는 방법 ${}_3 P_2=3\times 2=6$가지

(4)와 같은 경우: 흰 공 4개가 들어가는 상자를 고르는 방법 3가지

이제 2개가 되지 않는 상자에 검은 공을 채워 넣는다.

[2단계] 이제 남아 있는 검은 공을 넣는 방법의 수를 계산을 해보자.

(1) 남아 있는 검은 공 4개를 상자에 나누어 넣는 방법은 ${}_3 H_4={}_6 C_4={}_6 C_2 =15$

(2) 남아 있는 검은 공 4개를 상자에 나누어 넣는 방법은 ${}_3 H_4={}_6 C_4={}_6 C_2 =15$

(3) 남아 있는 검은 공 3개를 상자에 나누어 넣는 방법은 ${}_3 H_3={}_5 C_3={}_5 C_2 =10$

(4) 남아 있는 검은 공 2개를 상자에 나누어 넣는 방법은 ${}_3 H_2={}_4 C_2=6$

[3단계] 마지막으로 계산을 해보자.

$$3\times 15 +3\times 15 +6\times 10+3\times 6=168$$