수학과 사는 이야기

우연히 읽은 기사가 재밌어서 연결해 놓는다. 요약하면 네팔과 중국이 공동으로 에베레스트산의 높이를 새로 쟀는데 이전과 달라졌다는 이야기와 함께 지구 중심으로부터 재거나 바닥으로부터 재면 에베레스트보다 더 높은 산이 있다는 이야기가 함께 있다. 아주 먼 옛날에도 산에 오르지 않고 높이를 재는 방법이 있었다는 걸 아는가? 먼저 중학교에서 배우는 삼각비를 이용하여 간단하게 건물이 높이를 잴 수 있다. A건물의 높이는 50m이다. B건물의 높이는 여기에 $50\tan 30^{\circ}$를 더한 값이다. $$50+50\tan 30^{\circ}=50\left(1+\frac{\sqrt3}{3}\right)$$ 이런 문제에서 두 건물 사이의 거리인 50m를 재는 일은 어렵지 않다. 하지만 산의 높이를 잴 때는 다르..

이차방정식 $x^2 -4x+4=0$의 근을 구해보자. $$(x-2)(x-2) =0$$ $$x=2\quad \text{또는}\quad x=2$$ $$x=2$$ 이처럼 이차방정식의 두 근이 같다면 중근이라고 한다. 중근은 근이 겹쳐졌다고 이해해야 한다. 영어로는 multiple root이다. 근이 하나라고 하지 않고 중근을 가진다고 말하는 점에 주목하자. 중근을 근이 둘인 것으로 생각해야 훗날 배우는 '근과 계수와의 관계'를 공부할 때도 혼란스럽지 않다. 또한 이차방정식이 '서로 다른 두 실근을 가진다.'와 '두 실근을 가진다.'를 명확하게 구별해야 한다. 중학교 3학년에서 배우는 근의 공식은 아래와 같다. 이차방정식 $ax^2 +bx+c=0,\;\;(a\not=0)$의 근은 $$x=\frac{-b\pm\s..

근의 공식에 나오는 판별식 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를 해석해 보자. 이차방정식은 이차함수에서 $y=0$일 때를 의미한다. 따라서 이차방정식의 근은 포물선 $y=ax^2+bx+c$와 $x$축인 $y=0$이 만나는 점으로 해석할 수 있다. 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 아래와 같이 해석하면 된다. 포물선이 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 서로 다른 두 실근을 가진다. $$x_1 =-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{D}}{2a},\;\;x_2=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}$$ 포물선이 $x$축과 접한다. 한 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 중근을 가진다. $$x=-\frac{b}{2a}$$ 포물..

자연수 세제곱을 더한 값을 그림으로 그리면 아래와 같다. 그림이 생각만큼 깔끔하게 나오지 않아서 아쉽다. $$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =(1+2+3+\cdot+n)^2$$ $$4(1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 )=(n^2+n)^2$$ $$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =\frac{1}{4}n^2(n+1)^2=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$$ $$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$ $$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =\frac{1}{2}\times n(n+1)\times \frac{1}{2}n(n+1)=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$$ 사각수 그림도 하나 더 덧붙인다...

수학에서 쓰는 평균(Mean)은 여러 가지가 있다. 이들을 구별해 보자. 1. 산술평균: Arithmatic Mean 가장 많이 쓰는 평균이다. 등차수열에서 등차중항을 구하는 방법을 생각하면 된다. $a,\;AM,\;b$은 등차수열이면 $b-AM=AM-a$이다. $$AM=\frac{a+b}{2}$$ 2. 조화평균: Hamonic Mean $\displaystyle{\frac{1}{a},\;\frac{1}{HM},\;\frac{1}{b}}$이 등차수열을 이루면 $a,\;HM,\;b$은 조화수열이 된다. $$HM=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$$ 3. 기하평균: Geometric Mean $a,\;GM,\;b$은 등비수열이면 $b/GM=GM/a$..