수학과 사는 이야기

수학 교사는 수학 문제를 어렵게 만드는 방법을 연구해야 한다. 최소한이라도 변별하려면 모든 문제를 쉽게 낼 수는 없기 때문이다. 여러 가지 가운데 공식을 외워서 쓰지 못하게 하는 것이 으뜸이다. 그렇다고 공식을 몰라도 된다는 말은 아니다. 사실 공식으로 풀어내는 문제가 더 많다. 하지만 이런 문제는 가장 난도가 낮은 문제이고 대부분 학생을 줄 세우는 변별력이 높은 문제는 절대로 공식만으로 해결할 수 없다. 따라서 1등급을 위해선 공식을 외우는 것은 당연하고 이해하고 있어야 한다.간단한 지수함수로 만든 문제이니 쉽게 보이지만 4점짜리 문제다.함수가 항등함수 $y=x$와 만나는 점이 나오고 $f(f(x))=3x$와 같은 표현이 등장하니 분위기는 역함수를 이용하는 문제이다. 지수함수의 역함수는 로그함수와 같은..

중학교로 와서 3년째라 슬슬 문제 풀이 능력치가 떨어지고 있다. 중학교는 수업 시간에 대부분 시시한 문제만 다루게 된다. 따로 입시가 없으니 난도가 있는 문제를 굳이 다루지 않는다. 어쩌면 학원에서 다루는 난도가 있는 문제도 비비 꼬아 놓기만 한 문제가 대부분이라 다룰 필요도 없다.어제 치러진 대수능 수학 문제를 풀어 본다. 평가원 발표대로 쉽게 출제하려는 의도가 잘 보인다. 이름도 이상한 킬러 문항은 당연히 없애는 것이 맞다. 하지만 킬러 문항은 그 기준이 모호하다. 대충 100점이 4% 이상이 되어서 1등급이 나오지 않는 사태를 막기 위해 출제하는 초고난도 문제를 일컫는 느낌이다. 그렇다면 100점을 맞는 학생이 4%를 넘어야 킬러 문항이 없었다고 인정할 수 있다.아무리 쉽게 내도 수학은 수학이다. ..

우연히 읽은 기사가 재밌어서 연결해 놓는다. 요약하면 네팔과 중국이 공동으로 에베레스트산의 높이를 새로 쟀는데 이전과 달라졌다는 이야기와 함께 지구 중심으로부터 재거나 바닥으로부터 재면 에베레스트보다 더 높은 산이 있다는 이야기가 함께 있다. 아주 먼 옛날에도 산에 오르지 않고 높이를 재는 방법이 있었다는 걸 아는가? 먼저 중학교에서 배우는 삼각비를 이용하여 간단하게 건물이 높이를 잴 수 있다. A건물의 높이는 50m이다. B건물의 높이는 여기에 $50\tan 30^{\circ}$를 더한 값이다. $$50+50\tan 30^{\circ}=50\left(1+\frac{\sqrt3}{3}\right)$$ 이런 문제에서 두 건물 사이의 거리인 50m를 재는 일은 어렵지 않다. 하지만 산의 높이를 잴 때는 다르..

이차방정식 $x^2 -4x+4=0$의 근을 구해보자. $$(x-2)(x-2) =0$$ $$x=2\quad \text{또는}\quad x=2$$ $$x=2$$ 이처럼 이차방정식의 두 근이 같다면 중근이라고 한다. 중근은 근이 겹쳐졌다고 이해해야 한다. 영어로는 multiple root이다. 근이 하나라고 하지 않고 중근을 가진다고 말하는 점에 주목하자. 중근을 근이 둘인 것으로 생각해야 훗날 배우는 '근과 계수와의 관계'를 공부할 때도 혼란스럽지 않다. 또한 이차방정식이 '서로 다른 두 실근을 가진다.'와 '두 실근을 가진다.'를 명확하게 구별해야 한다. 중학교 3학년에서 배우는 근의 공식은 아래와 같다. 이차방정식 $ax^2 +bx+c=0,\;\;(a\not=0)$의 근은 $$x=\frac{-b\pm\s..

근의 공식에 나오는 판별식 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를 해석해 보자. 이차방정식은 이차함수에서 $y=0$일 때를 의미한다. 따라서 이차방정식의 근은 포물선 $y=ax^2+bx+c$와 $x$축인 $y=0$이 만나는 점으로 해석할 수 있다. 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 아래와 같이 해석하면 된다. 포물선이 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 서로 다른 두 실근을 가진다. $$x_1 =-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{D}}{2a},\;\;x_2=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}$$ 포물선이 $x$축과 접한다. 한 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 중근을 가진다. $$x=-\frac{b}{2a}$$ 포물..