수학과 사는 이야기

직선을 길이가 같게 둘로 자르고 길이가 다르게 둘로 잘랐을 때, 길이가 다른 두 토막으로 만든 직사각형에 자른 점들 사이의 직선으로 만든 정사각형을 더하면 전체 길이의 절반으로 만든 정사각형과 넓이가 같다. 직선 AB가 주어졌을 때, 점 C는 직선 AB 를 이등분하고 점 D는 서로 다른 길이로 나눈다고 하자. AD와 DB로 만드는 직사각형의 넓이는 CB로 만드는 정사각형과 CD로 만드는 정사각형의 넓이의 차와 같음을 보이면 된다. 한 변이 CB인 정사각형 CEFB를 그리고 대각선 BE를 긋는다. D를 지나고 CE에 평행인 직선 DG를 긋는다. BE와 만나는 점 H를 지나고 AB에 평행한 직선 KM을 긋는다. A를 지나 CL 또는 BM에 평행한 AK를 긋는다. $\square CLHD=\square HGF..

2007년 4월 2일 첫 글을 쓴 이래 참 오랜 세월을 블로거로 살고 있다. 한창 블로그에 열중일 때는 먹이를 찾아 산기슭을 어슬렁거리는 하이에나처럼 뭔가 쓰려고 글감을 찾아 헤맸다. 블로그 이름은 '수학과 사는 이야기'이다. 수학 교사로 살고 있으니 자연스럽게 "수학 이야기 $+$ 사는 이야기"가 주된 테마이다. 찾아보니 유클리드 원론을 우리말로 옮기겠다는 당찬 포부를 밝힌 것은 2012년이다. 무려 10년이나 된 꿈이 되어 버렸다. 댓글을 보면 어느 출판사 담당자가 같이 하자고 했는데 자신이 없어서 거절한 것이 못내 아쉽다. 누군가와 약속을 하고 돈까지 받아서 일을 진행했다면 아마도 끝낼 수 있었을까. 아니면 무능함을 만천하에 드러내고 원고 독촉에 시달리다가 포기했을 수도 있겠다.^^ 수학 교육을 전..

수학은 엄밀해서 아름답다. 요즘은 중학교 수학 교과서에서 엄밀한 증명을 요구하지 않는다. '증명하라'라고 하지 않고 '설명하라'라고 적는다. 비록 교육 과정에 없어도 멀리 가고 싶다면 열심히 도형의 성질을 열심히 증명해 보아야 한다. 뒷산으로 가는 소풍 준비와 히말라야 등정 준비는 차원이 다른 일이다. 중학교 수학 교과서에서 우리가 외우는 많은 성질들을 꼼꼼하게 증명해서 깊이 이해한다면 기하학이 지닌 아름다움을 만끽할 수 있을 것이다. 예전에 이미 올렸던 증명을 한 군데로 모아 두려고 한다. 중학생 가운데 뒷산을 오르는데 만족하지 않고 멀리 히말라야 등정을 목표로 삼고 있는 학생을 위한 글이다. 먼저 명제 1부터 10까지 그리고 명제 23을 증명해 놓는다. 더 간단한 증명이 있더라도 가능하면 유클리드가 ..

Proposition 13. If a straight line stands on a straight line, then it makes either two right angles or angles whose sum equals two right angles. 두 직선이 만나면 이직각(180도)을 이루거나 두 각의 합이 2직각을 이룬다. 직선 $AB$와 $CD$가 두 각 $\angle CBA$와 $\angle ABD$를 만든다고 하자. 두 각의 합이 2직각임을 보이려고 한다. 만약 두 각이 모두 직각이라면 증명이 끝난다. 두 각이 직각이 아니라면 점 $B$에서 직선 $CD$에 수선 $BE$를 작도할 수 있다. 두 각 $\angle CBE$와 $\angle EBD$의 합은 2직각이다. $$\angle CBE..

Proposition 12. To draw a straight line perpendicular to a given infinite straight line from a given point not on it. 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 주어지면 그 점을 지나고 직선에 수직인 직선을 그을 수 있다. 직선 $AB$와 그 위에 있지 않은 한 점 $C$가 주어졌다고 하자. 점 $C$에서 직선 $AB$ 반대편에 있는 점까지 거리를 반지름으로 원을 그린다. 원과 직선 $AB$가 만나는 점을 각각 $D$, $E$라고 하자. 명제 11에서와 마찬가지로 두 점 $D$, $E$에서 반지름이 선분 $DE$의 길이인 원을 그려서 만나는 점을 잇는 직선은 $C$를 지나고 직선 $AB$에 수직이다. $\blacksqu..