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수학이야기/기하벡터

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정다면체의 순환
수학이야기/기하벡터 2021. 2. 5. 20:40
플라톤 다면체로 부르는 정다면체는 모두 다섯 가지가 있다. 면이 작은 것부터 차례대로 적으면 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체이다. 이들 정다면체를 적당히 깎으면 다른 정다면체를 만들 수 있다. 이것을 일컬어 정다면체의 순환이라고 한다. 1. 정사면체 모서리의 중점을 잇는 선으로 자르면 정팔면체가 생긴다. 2. 정팔면체 모서리를 황금분할하는 점을 잇는 선으로 자르면 정이십면체가 생긴다. 3. 정이십면체의 면의 중심을 잇는 선으로 자르면 정십이면체가 생긴다. 4. 정십이면체의 적당한 꼭짓점 8개를 잇는 선으로 자르면 정육면체가 생긴다. 5. 마지막으로 정육면체의 적당한 꼭짓점 4개를 잇는 선으로 자르면 정사면체가 생긴다. 플라톤(Plato)은 티마이오스(Timaeus c.260 B.C..
체바의 정리(Ceva Theorem)
수학이야기/기하벡터 2020. 11. 24. 14:46
평면에 있는 삼각형에서 아래와 같은 정리가 성립한다. 체바Ceva의 정리 주어진 삼각형 $ABC$에서 변 위에 있지 않은 정점 $O$를 지나는 직선 $AO$, $BO$, $CO$가 변과 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라고 할 때 방향이 있는 길이를 써서 나타내면 아래와 같은 관계가 성립한다. $$\frac {AF}{FB} \cdot \frac {BD}{DC} \cdot \frac {CE}{EA} = 1.$$ 이때, 세 선분 $AD$, $BE$, $CF$는 체비안으로 부른다. 방향이 있는 길이 $XY$는 $X$가 선의 고정된 방향에서 $Y$의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지 여부에 따라 양수 또는 음수로 정해진다. 예를 들어, $AF / FB$는 $F$가 $A$와 $B$ 사이에 있을 때 양의 값을 갖..
케일리-해밀튼 정리
수학이야기/기하벡터 2020. 11. 19. 10:10
케일리-해밀튼 정리 $n$차 행렬 $A$와 항등 행렬 $I_n$이 있을 때, $A$의 특성 방정식은 $p(\lambda)= det(\lambda I_n -A)$이다. 행렬식(det)은 $\lambda$에 대한 최고차항 계수가 $1$인 다항식으로 나타낼 수 있다. $$p(\lambda)=\lambda^n +c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1 \lambda+c_0$$ 스칼라 변수 $\lambda$ 자리에 행렬 $A$를 넣은 식은 아래와 같다. $$p(A)=A^n +c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1 A+c_0 det(A) I_n.$$ 이때, $P(A)=\mathbf{O}$이다. 보기 $1 \times 1$ 행렬 $A=(a_{11})$의 특성 방정식은 $p(\lambda)=\l..
수학을 공부할 때 정답지를 보는 방법
수학이야기/기하벡터 2020. 11. 10. 17:14
수학을 잘하고 싶으나 잘 되지 않는 사람이 많다. 우리나라 학생들이 엄청나게 많은 시간을 수학 공부에 힘쓰고 있지만 좋아하는 학생은 드물고 나아가 즐기는 학생은 아주 드물다. 오랫동안 수학을 가르치면서 많은 학생을 지켜보았다. 수학 블로그를 운영하면서 '어떻게 공부해야 수학을 잘할 수 있는가?'는 한 번쯤은 정리하고 싶은 주제다. 그냥 두서없이 생각나는 대로 정리해 둔다. 이 글은 중학교 2학년쯤 된 학생을 위한 글이지만 고등학생 1학년이 읽어도 좋을 듯하다. 수학은 끊임없이 '왜?'라고 묻는다 오각형의 외각을 모두 더하면 얼마인가? 중학교 1학년을 지나면 어지간한 학생들은 이미 모든 다각형은 외각을 모두 더하면 $360$도임을 알고 있을 것이다. 여기서 왜냐고 물으면 생각보다 많은 학생이 이유를 말하지..
원뿔 곡선 작도하기
수학이야기/기하벡터 2020. 8. 21. 14:27
요즘 2차 곡선으로 부르는 곡선은 원뿔을 자른 단면이라서 원뿔 곡선으로 불러졌다. 알면 알 수록 아름다운 원뿔 곡선을 작도해 보자. 작도하는 법은 원뿔 곡선이 가지고 있는 많은 성질을 증명할 때 큰 도움을 준다. 원 정의: 한 정점에 이르는 거리가 같은 점의 자취 그냥 컴퍼스로 그리면 된다. 포물선 정의: 한 정직선과 정점에 이르는 거리가 같은 점의 자취 한 직선과 한 점 $F$가 주어졌다고 하자. 직선 위에 있는 점 $A$와 $F$를 잇는 선분 $AF$의 수직이등분선을 작도한다. 점 $A$를 지나고 주어진 직선과 수직인 직선이 위에서 작도한 직선과 만나는 점을 $P$라 하자. 점 $P$는 선분 $AF$의 수직이등분선 위에 있으므로 $$\overline{PA}=\overline{PF}$$ 따라서 점 $P..

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