전염병과 기하학

델로스 문제(The Delian Problem)로 알려진 배적 문제가 나온 이야기가 있다.

고대 그리스 시절 델로스(Delos) 섬에 전염병이 돌았다. 전염병은 아폴론이 보낸 것이었다. 사람들은 모여서 대책을 논의했다. 델파이(Delphi)에 사는 예언가(Oracle)에게 묻자 아폴론 신전에 놓인 제단을 부피가 꼭 2배인 제단으로 바꾸라고 말했다. 제단은 정육면체 모양이었다. 델로스 사람들은 플라톤에게 문제를 가지고 갔고 플라톤은 제자인 Eudoxus와 Archytas와 Menaechmus에게 문제를 넘겨주었다. 플루타르코스는 제자들이 기계적인 방법으로 문제를 해결했으나 순수한 기하학만으로 해결하지 못했다고 책망을 들었다고 전한다.

부피가 주어진 정육면체 부피의 딱 2배인 정육면체를 작도할 수 있을까? 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 만들어야 한다. 다들 알다시피 불가능하다. 아무튼 해결할 수 없는 이 문제를 해결하기 위해 도전한 수학자들이 알아낸 사실이 많다. 세상에 불가능한 일이 많다. 포기하지 않고 불가능에 도전한 사람들이 얻어낸 새로운 개념으로 인류 역사를 바꾸어 왔다. 2020년 온 세계가 코로나-19로 어려움을 겪고 있다. 델로스 사람들은 제단을 바꿔서 전염병을 물리쳤을까 궁금하다.

참고로 세 가지 작도 불가능 문제는 아래와 같다.

1. 원적 문제: 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제
2. 배적 문제: 부피가 주어진 정육면체의 2배인 정육면체 작도하는 문제
3. 각의 삼등분: 임의로 주어진 각을 삼등분하는 문제

그리스 수학자 메나에크무스(기원전 380~320)는 배적문제를 아래에 있는 두 포풀선의 교점($\not(0,0)$)을 구하는 문제로 바꾸었다.

$$x^2 =ky,\;\;\;y^2 =2kx$$

정리하면 $x^4 =k^2 y^2=k^2 2kx=2k^3 x$에서 $x^3 =2k^3$이다. 데카르트는 두 포물선의 방정식을 하나로 만들어도 충분함을 보였다. 교점은 방정식 $x^2 +y^2 =ky+2kx$을 만족시키는데 이 방정식은 중심이 $\displaystyle{\bigg( k, \frac{k}{2} \bigg)}$이고 두 포풀선의 꼭짓점을 지나는 원이다. 따라서 이 원이 포풀선과 만나는 점을 찾으면 된다.

눈금이 있는 자를 써서 $x=k \sqrt[3]{2}$를 만드는 간단한 방법

1. 한 변이 $k$인 정삼각형 $ABC$를 그리고 변 $CA$를 늘린 선 위에 $\overline{AD}=k$가 되도록 점 $D$를 잡는다.
2. 자에 길이 $k$인 눈금을 표시한다.
3. 선분 $AB$와 $DB$를 늘리고 눈금 $k$가 표시된 자를 써서 점 $P$와 $Q$를 찾는다.

 

증명 그림과 같이 $\overline{CQ}=x, \;\;\;\overline{BP}=y$라 하자.

$\triangle APB$에서 제2 코사인법칙을 쓰자.

$$\begin{split}\overline{CP}^2 =& \overline{AC}^2 + \overline{AP}^2 -2\cdot \overline{AC} \cdot \overline{AP} \cos 60^{\circ}\\=&\overline{AC}^2 + \overline{AP}^2-2\cdot \overline{AC} \cdot \overline{AP}\\ \overline{CP}^2 -\overline{AC}^2 =& \overline{AP}(\overline{AP}-\overline{AC})\\=& \overline{AP}( \overline{AP}-\overline{AB}) \\=&\overline{AP}\cdot \overline{BP} \\ (x+k)^2 -k^2=&y(k+y)\end{split}$$

$$x^2 +2kx=y^2 +ky\tag{1}$$

아래와 같은 식이 성립하는 직선 $DBQ$를 가로지르는 $\triangle APC$에서 메넬라우스 정리를 쓰자.

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}\cdot\frac{\overline{PQ}}{\overline{QC}}\cdot\frac{\overline{CB}}{\overline{DA}}=1$$

$$\frac{k}{y}\cdot\frac{k}{x}\cdot\frac{2k}{k}=1$$

$$xy=2k^2$$

(1)에 대입하여 정리하자.

$$\begin{split}x^2 +2kx=&\bigg(\frac{2k^2}{x} \bigg)^2 +k \bigg(\frac{2k^2}{x}\bigg)^2 \\=& \frac{4k^2}{x^2}+\frac{2k^3}{x}\\x^4+2kx^3 =&4k^4 +2k^3 x\\x^3(2k+x)=&2k^3(2k+x)\\x^3 =&2k^3\end{split}$$

$$\therefore \;\;\;x=k\sqrt[3]{2}$$

$\blacksquare$

니코메데스(Nicomedes)는 위에 있는 방법과 비슷하게 배적문제를 푸는 장치를 고안하고 콘코이드(conchoid)를 그리는 장치를 발명했다.

en.wikipedia.org/wiki/Conchoid_(mathematics)

Conchoid (mathematics) - Wikipedia