빛깔과 컴퓨터 그리고 수학

요즘 고등학교 1학년인 아들과 순열과 조합을 공부하고 있다. 한동안 고 3만 가르치다가 오랜만에 1학년 수업을 하는 셈이다. 문제를 만들기에 따라서 순열과 조합 문제도 상당히 어려울 수 있다. 올해도 수학 가형 29번 문제는 제법 복잡한 경우의 수 문제이다. 어떻게 보면 경우의 수는 상당히 단순한 단원이지만 학생들이 어려움을 토로하는 단원이기도 하다. 상당한 연습 없이 순서가 있는 경우와 없는 경우를 단박에 구별하기가 쉽지 않다. 이런 걸 배워서 어디다 쓰냐는 불만을 제기하는 아들을 위해 쓰는 글이다. 아들이 요즘 컴퓨터 프로그래밍에 살짝 관심을 가지고 있는 듯하여 컴퓨터 이야기를 해볼까 한다.

영어로는 컬러(color)로 부르지만 우리말로 옮길 때는 색깔과 빛깔로 구별하고 싶다. 물론 색깔도 엄밀하게 따지면 우리 눈이 보는 빛깔에 따라 구별되므로 같은 말로 불러도 문제는 없다. 그러나 물감 색을 섞는 일과 빛을 섞는 일은 구별해야 마땅하다. 모니터에서 보이는 색은 빛을 섞어서 만든 색으로 이해해야 정확하므로 이글에선 빛깔이라고 쓰기로 하자.

초등학교에서 배운대로 색의 3 원색은 '빨강, 노랑, 파랑'이고 빛의 3 원색은 '빨강, 녹색, 파랑'이다. 색은 더할수록 어두워지고 빛은 더할수록 밝아진다. 모니터에 원하는 빛을 보이도록 하기 위해선 시스템에서 명령을 내려주어야 한다. 컴퓨터가 아는 명령은 모두 2진수로 표현된다. 빛깔은 #254, #f5f766처럼 세 자리 또는 여섯 자리 숫자로 표현한다.

이 수를 아르지비(RGB) 수로 부르는데 순서대로 한 자리 또는 두 자리씩 끊어서 빨강(Red), 녹색(Green), 파랑(Blue)이 더해진 정도를 나타낸다. 숫자가 아닌 로마자가 왜 들어 있을까? 그것은 단계를 16단계로 나누었기 때문이다. 0~9 숫자 10개  그리고 abcdef 문자 6개를 쓴다. 뒤로 갈수록 강도가 높은 것이다. 따라서 완전한 검정은 #000 또는 #000000, 완전한 백색은 #fff 또는 #ffffff으로 적는다. 감각이 뛰어난 사람은 이쯤만 알아도 원하는 빛깔과 비슷하게 이름을 정할 수 있을 것이다.

이제 몇 가지 빛깔을 구별해 보자. 먼저 숫자 3개로 이름을 정해 보자.

수	빛깔	수	빛깔	수	빛깔	수	빛깔
#f00		#0f0		#00f		#ff0
#f0f		#0ff		#fff		#000
#123		#132		#213		#231
#312		#321		#369		#963

순서를 바꾸면 빛깔이 달라지므로 순열이다. 표현 가능한 색은 곱의 법칙에 따라 $16\times 16 \times 16=16^3=2^{12}$가지나 된다. 모니터 해상도가 아주 좋다면 숫자 3개로 4096가지 빛깔을 보여줄 수 있다. 이 정도면 충분하지만 숫자 6개로 표현할 수 있으므로 $16^6=2^{24} =16777216$가지나 된다. 아주 간단한 표현으로 1677만 7216가지 빛을 나타낼 수 있다.

이제 수학 문제를 만들어 보자. 숫자 1,2,3으로 나타낼 수 있는 빛깔은 위에 있는 6가지다. 이것은 ${}_3P_3=3!$이다. 이제 이와 같이 서로 다른 숫자로 이루어진 빛깔은 모두 몇 가지인가 생각해 보자. 먼저 16가지에서 서로 다른 3개를 선택하고 서로 다른 수 3개를 일렬로 나열하는 수를 구하면 된다. 따라서 ${}_{16} C_3 \times 3!$이다.

#112처럼 같은 숫자 2개가 들어 있는 빛깔은 모두 몇 가지인가?

같은 것이 들어 있는 순열은 123으로 이루어진 순열을 먼저 생각하고 3을 1로 바꾸었다고 생각하면 된다. 따라서 $\displaystyle{\frac{3!}{2!}}=3$이다. 숫자 2을 고르는 일을 생각하자. 이것은 두 가지로 생각할 수 있다. 먼저 2가지 색을 고른 다음 두 숫자 중에 하나를 더 고른다고 생각하면 ${}_{16}C_2\times 2$이다. 이것은 두 숫자를 고를 때 순서가 있다고 생각하는 것과 같다. 예를 들어 먼저 뽑은 숫자를 2개 나중에 뽑은 숫자를 1개로 생각한다. 따라서 순열이므로 ${}_{16} P_2$이다. 따라서 답은 ${}_{16}P_2\times 3$이다.

순열과 조합에서 배운 공식을 정리해 보자.

$${}_n P_n=n!,\quad \;\;{}_nP_r =\frac{n!}{(n-r)!},\quad\;\;{}_n C_r =\frac{{}_n P_r}{r!}=\frac{n!}{(n-r)! r!}\quad(0!=1)$$ 

조합의 수를 구하는 과정에 순열과 조합에서 꼭 이해해야 하는 모든 것이 들어 있다. 이처럼 순서가 있는 것에서 순서를 없애는 방법으로 생각하는 것이 쉽다. 더 공부하고 싶다면 여전히 검색이 많이 되는 예전에 쓴 아래 글을 참고하시라.

suhak.tistory.com/2

순열(permutation)에서 조합(Combination)으로

빛깔에 따라 정해진 이름도 있다. 하지만 천만 가지가 넘는 수에 하나하나 이름을 붙이는 일은 불가능하기도 하고 쓸모 없는 일이다. 이럴 때 수학이 필요한 것이다. 참고로 빨강만 해도 아래와 같이 이름이 아주 많다.

htmlcolorcodes.com/color-names/

Color Names — HTML Color Codes