시계와 수학

시곗바늘이 이루는 각을 구하는 문제는 아주 오래전에 중학교 학생들을 괴롭혔던 문제다. 요즘은 교과서에서 자취를 감추었지만 고난도 문제를 다루는 문제집에서는 간혹 볼 수 있다. 창의력 문제로도 제시되기도 한다. 모든 수학 문제와 마찬가지로 원리를 알면 아주 쉬운 문제다. 옛날 사람이라면 추억이 방울방울 돋아날 문제를 풀어보자.

예제: 현재 시각 10시 9분 30초이다. 시침과 분침이 이루는 각의 크기를 구하여라.

풀이. 원리는 간단하다. 시침과 분침이 움직이는 각속도를 알면 된다.

1. 일단 눈금이 이루는 중심각을 기억하자.

시간은 원을 12등분, 분은 60등분 한 눈금이 매겨져 있다. 따라서, 시간을 나타내는 숫자는 $30^{\circ}$, 분을 나타내는 눈금은 $6^{\circ}$를 이루고 있다.

2. 시침과 분침의 각속도를 구해보자.

시침은 $60$분에 $30^{\circ}$를 움직이므로 각속도는 $0.5^{\circ}/min$이고 분침은 1분에 $6^{\circ}$를 움직이므로 각속도는 $6^{\circ}/min$이다. 

이제 계산을 해보자. 10시 정각에서 시작하자.

10시 정각 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 60도이다.

이제 9분 30초 동안 시침과 분침이 움직인 각을 계산하자.

9분 30초는 $9.5$분이다.

시침이 움직인 각의 크기는 다음과 같다. $$0.5^{\circ}/min \times9.5 min=4.75^{\circ}$$

분침이 움직인 각의 크기는 다음과 같다. $$6^{\circ}/min \times9.5 min=57^{\circ}$$

편하게 쓰기 위해 단위를 생략하자. 

10시 정각에서 시작하므로 시침은 각을 줄이고 분침은 각을 늘이게 된다.

그러므로 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$60-4.75+57=117-4.75=112.25$$

아무래도 초단위까지 계산하면 복잡하므로 분단위까지만 계산하는 문제라야 중학교 수준에 맞을 듯하다.

연습문제 아래와 같이 1시 55분일 때 시침과 분침이 이루는 각의 크기를 구해보자.

심화 문제 9시와 10시 사이에 시침과 분침이 일치하는 시각을 구하여라.

심화 문제는 이름대로 조금 더 깊이 생각해야 하는 문제다. 참고로 시분초로 딱 떨어지는 시각을 구할 수는 없고 유리수로 표현할 수 있다.