아름다운 포물선

수학은 아름답다는 말이 있다. 전혀 공감하지 못하는 이들도 많지만 공감하는 이들도 제법 많다. 내가 아니라고 남들도 다 그럴 것이라고 생각하지 말자. 수학을 가르치는 교사로서 왜 수학이 아름다운가를 묻는다면 이렇게 대답한다.

수학은 세상에서 가장 복잡한 일을 세상에서 가장 간단한 것으로 해결할 수 있도록 해주기 때문에 아름답다.

모든 수학 문제를 분해하고 나면 덧셈만 남는다. 결국 인류는 1+1=2에서 시작해서 우주의 운동 법칙을 밝히는데 이르렀다. 중학교나 고등학교 수학 교과는 복잡한 식을 간단한 식으로 만드는 과정만 안다면 끝이다.

이차함수를 보자.

$$y=x^2\tag{1}$$

$$y=2x^2 \tag{2}$$

$$y=2(x-2)^2\tag{3}$$

$$y=-(x+2)^2 +1\tag{4}$$

$$y=x^2 -4x+3\tag{5}$$

(1)과 (2)는 간단하고 (3)과 (4)는 조금 복잡하고 (5)는 많이 복잡하다.

따라서 (5)와 같은 꼴을 (1)과 같이 바꿀 수 있다면 모든 문제를 해결할 수 있다. (1)을 (4)나 (5)처럼 만드는 것을 할 수 있다면 거꾸로 만드는 과정을 못할 까닭이 없는데 이상하게도 (5)를 정리하여 (1)과 같이 만드는 과정을 쉽게 이해하지 못하는 학생들이 아주 많다.

이차함수의 그래프는 포물선이다. 모든 포물선은 선대칭도형이므로 대칭축을 가지고 있다. 포물선의 꼭짓점은 포물선과 포물선의 대칭축이 만나는 점이다.

(5)와 같은 꼴을 (4)와 같이 바꾸면 포물선의 모든 것을 알 수 있다. 근의 공식을 만들 때 사용한 완전제곱식을 활용하면 아주 간단하게 고칠 수 있다. 

$$\begin{split}y&=x^2 -4x+4-4+3\\&=(x-2)^2 -1\end{split}$$

포물선 $y=x^2$을 $x$축 방향으로 $2$, $y$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 포물선이다. 따라서 대칭축은 $x=2$이고 꼭짓점은 $(2,-1)$이다.

$$\begin{split}y&=2x^2 +4x+4\\&=2(x^2 +2x+1-1)+4\\&=2(x+1)^2 -2+4\\&=2(x+1)^2+2\end{split}$$

포물선 $y=2x^2$을 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 포물선이다. 따라서 대칭축은 $x=-1$이고 꼭짓점은 $(-1,2)$이다.

문자로 정리하면 아래와 같이 공식을 얻을 수 있으나 근의 공식과 달리 억지로 외울 필요는 전혀 없다. 

$$\begin{split}y&=ax^2+bx+c\\&=a\left(x^2 +\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left(x^2 +\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a}+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 +\frac{-b^2+4ac}{4a}\end{split}\tag{6}$$

포물선 (6)은 $y=ax^2$을 $x$축 방향으로 $-b/2a$, $y$축 방향으로 $(-b^2 +4ac)/4a$만큼 평행이동한 포물선이다. 따라서 대칭축과 꼭짓점은 각각 아래와 같다. 

$$x=- \frac{b}{2a}$$

$$\left(-\frac{b}{2a},\frac{-b^2+4ac}{4a}\right)$$

이차함수를 정리한 모양을 구분하기 위해 각각 일반형과 표준형이라고 부른다.

일반형: $y=ax^2 +bx+c$

표준형: $y=a(x-p)^2 +q$

이차함수와 평행이동 (tistory.com)

이차함수와 평행이동

고등학생이면 아래 글을 보자.

이차곡선(conic section)