이차방정식의 중근을 대하는 자세

이차방정식 $x^2 -4x+4=0$의 근을 구해보자.

$$(x-2)(x-2) =0$$

$$x=2\quad \text{또는}\quad x=2$$

$$x=2$$

이처럼 이차방정식의 두 근이 같다면 중근이라고 한다. 중근은 근이 겹쳐졌다고 이해해야 한다. 영어로는 multiple root이다. 근이 하나라고 하지 않고 중근을 가진다고 말하는 점에 주목하자. 중근을 근이 둘인 것으로 생각해야 훗날 배우는 '근과 계수와의 관계'를 공부할 때도 혼란스럽지 않다. 또한 이차방정식이 '서로 다른 두 실근을 가진다.'와 '두 실근을 가진다.'를 명확하게 구별해야 한다. 

중학교 3학년에서 배우는 근의 공식은 아래와 같다.

이차방정식 $ax^2 +bx+c=0,\;\;(a\not=0)$의 근은 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\quad(b^2-4ac\geq 0)\tag{1}$$

판별식 $D=b^2 -4ac$은 여러 가지 정보를 준다. $D=0$이면 중근 $x=-b/2a$을 가진다.

근과 계수와의 관계

근의 공식 (1)은 계수만으로 근을 구할 수 있음을 말하고 있다. 따라서 근과 계수는 당연히 관계가 명확하게 정해져 있다.

이차방정식 $ax^2 +bx+c=0$의 두 근이 각각 $\alpha,\;\;\beta$라고 하자.

근의 공식을 이용해 보자.

\begin{split}\alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}\\&=-\frac{b}{a}\end{split}

\begin{split}\alpha\beta&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\frac{4ac}{4a^2}\\&=\frac{c}{a}\end{split}

인수분해를 이용하여 찾아도 된다.

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$$

$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}\tag{2}$$

$$\frac{D}{a^2}=\frac{b^2-4ac}{a^2}=(\alpha+\beta)^2 -4\alpha\beta=(\alpha-\beta)^2$$

$\alpha=\beta$이면 $D=0$임을 쉽게 확인할 수 있다.

이차방정식 $x^2 -4x+4=0$의 모든 근의 합은 $2+2=4$이다.

한편 (2)에서 두 근의 산술평균이 $-b/2a$임을 확인할 수 있다.

$$\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{b}{2a}$$

근의 공식을 통해 이차방정식의 두 근은 두 근의 평균에 $\sqrt{D}/{2a}$를 더하고 뺀 것임을 알 수 있다.

$$\frac{D}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}$$

 

근과 계수와의 관계를 이용하여 이차방정식 $x^2 +4x+2=0$의 근을 구해보자.

먼저 두 근의 평균은 $(\alpha+\beta)/2=-b/2a=-2$이다.

따라서 두 근은 $\alpha=-2-t$와 $\beta=-2+t$이다. 이에 (2)에서

$$\alpha\beta=(-2-t)(-2+t)=2$$

$$4-t^2=2$$

$$t=\pm\sqrt{2}$$

두 근은 $x=-2\pm\sqrt2$이다.

근의 공식 다르게 보기

근의 공식을 아래와 같이 외우고 있으면 계산을 쉽게 할 수 있다. 

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}\tag{3}$$

실제로 바빌로니아 점토판에 나오는 공식이기도 하다.

이차방정식 $x^2 -5x+2=0$의 근을 구해보자.

1. 먼저 평균은 $5/2$이다.

2. $\displaystyle{\left(\frac{5}{2}\right)^2-2=\frac{25}{4}-2=\frac{17}{4}}$

3. 제곱근을 구하면 $\displaystyle{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}$이다.

4. 따라서 근은 $\displaystyle{x=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}$이다.

근의 공식보다 복잡해 보이지만 생각보다 계산이 편하다. 학원에서 선행학습으로 근의 공식을 배우면 이렇게 계산하는 방법이 눈에 들어오지 않는다. 제발 아무 생각 없이 공식만 외우는 수학에서 벗어나길 바란다.

사실 따지고 보면 (2)와 같이 두 수의 합과 곱이 주어지면 이차방정식이 생긴다. 이차방정식이 있고 근과 계수와의 관계가 생기는 것이 아니고 근과 계수와의 관계를 이용하여 이차방정식을 해결하는 것이다. 옛날 사람들은 아래 (4)와 같은 방정식을 어떻게 해결했을까? 아래 연결고리에 정리해 두었다. 

$$x+y=p,\;\;xy=q\tag{4}$$

https://suhak.tistory.com/1491

바빌로니아의 이차방정식