2022학년도 수시 서울대 면접 수학 문제

문제

다음 설명을 읽고 물음에 답하시오.

[그림 1]과 같이 앞면과 뒷면의 모양이 영역

$$\{(x,y)| \frac{1}{2}x^2 \leq y \leq \frac{3}{2}\}$$

과 같고 앞면과 뒷면 사이의 간격이 $1$인 그릇에 물이 담겨 있다. (단, 그릇의 두께는 고려하지 않는다.) 정면에서 보았을 때 이 그릇의 모양은 [그림 2]와 같고, 수면의 높이는 $2/3$이다.

[그림 3]처럼 그릇의 중심축이 $y$축 방향과 이루는 각이 $t$가 되도록 그릇을 기울였다. $\displaystyle{\left(\text{단,}\quad 0\leq t\leq\frac{\pi}{2}\right)}$ 이때 수면의 높이를 $h(t)$라고 하자. 그릇에 물이 없는 경우에는 $h(0)=0$으로 정의한다.

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$h(0)=0$일 필요충분조건이 $\displaystyle{t_1\leq t\leq\frac{\pi}{2}}$일 때, $t_1$의 값을 구하시오.

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그릇에 담긴 물의 양이 기울이기 전과 같을 필요충분조건이 $0\leq t\leq t_0$일 때, $t_0$의 값을 구하시오. 

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$\displaystyle{0\leq t\leq\frac{\pi}{2}}$인 $t$에 $h(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오. 그리고 $\displaystyle{0\leq t_2\leq\frac{\pi}{2}}$인 $t_2$가 $\displaystyle{\cos t_2=\frac{2\sqrt7}{7}}$을 만족할 때 $h(t_2)$의 값을 구하시오.

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열린구간 $\displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$에 속하는 각 점에서 함수 $h(t)$의 미분가능성을 논하시오.

 

1-1

수면이 $y$축과 이루는 각이 $t$가 되도록 그릇을 기울인 상황을 그림으로 나타내면 아래와 같다. 지면은 포물선의 접선이 된다.

지면이 점 $\displaystyle{\left(\sqrt3 , \frac{3}{2}\right)}$에서의 접선이 되는 때가 되면 모든 물이 다 쏟아진다.

지면의 방정식을 $y=ax+b$로 놓자. 미분하면 접선의 기울기를 구할 수 있다.

$$a=\tan t_1=\sqrt3$$

$$t_1 = \frac{\pi}{3}$$

따라서 $h(0)=0$일 필요충분조건은 $$\displaystyle{\frac{\pi}{3}\leq t\leq\frac{\pi}{2}}$$

1-2

기울이기 전에 있는 물의 양을 $W$라고 하면 (참고: 평행이동하여 정적분 구하기)

$$W=\int_{-\frac{2}{\sqrt3}}^{\frac{2}{\sqrt3}}\left( \frac{2}{3}-\frac{1}{2}x^2\right)dx \times 1=\frac{16\sqrt3}{27}$$

기울여서 물이 쏟아지기 시작할 때는 수면의 오른쪽이 점 $\displaystyle{\left(\sqrt3,\frac{2}{3}\right)}$에 처음 도달했을 때이다. 수면을 나타내는 직선의 방정식 $l(x)$라고 하고 이 직선이 포물선과 만나는 다른 점의 $x$좌표를 $a$라고 하면

$$l(x)-\frac{1}{2}x^2=-\frac{1}{2}(x-a)(x-\sqrt3)$$

이다. 기울인 상황에서의 물의 양은 아래와 같다.

\begin{split}\int_{a}^{\sqrt3}\left(l(x)-\frac{1}{2}x^2\right)dx&=-\frac{1}{2}\int_{a}^{\sqrt3}(x-a)(x-\sqrt3)dx\\&=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt3 -a}x(x-(\sqrt3 -a))dx\\&=-\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{3}x^3 -\frac{1}{2}(\sqrt3-a)x^2\right]_{0}^{\sqrt3-a}\\&=\frac{1}{12}(\sqrt3 -a)^3\end{split}

$$\frac{1}{12}(\sqrt3-a)^3=\frac{16\sqrt3}{27}\tag{1}$$

(1)을 만족할 때 $t=t_0$이다.

$$(\sqrt3-a)^3=\frac{64\sqrt3}{9}=\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^3$$

$$a=-\frac{\sqrt3}{3}$$

따라서 왼쪽 끝점은 $\displaystyle{\left(-\frac{\sqrt3}{3},\frac{1}{6}\right)}$

수면은 두 점 $\displaystyle{\left(-\frac{\sqrt3}{3},\frac{1}{6}\right)}$과 $\displaystyle{\left(\sqrt3,\frac{2}{3}\right)}$를 지나는 직선이다. 이 직선의 기울기가 바로 $\tan t_0$이다.

$$\tan t_0 =\cfrac{\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{6}}{\sqrt3-\left(-\cfrac{\sqrt3}{3}\right)}=\frac{1}{\sqrt3}$$

$$t_0=\frac{\pi}{6}$$

1-3

높이 변화를 나타내는 함수 $h(t)$를 구하는 문제이다.

1) 물의 양이 같을 때, $$0\leq t \leq \frac{\pi}{6}$$

접선의 방정식을 구하자. 접선의 기울기는 $\tan t$이다. 한편, 미분하면 $\displaystyle{\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^2\right)=x}$이므로 $\tan t= x$이다. 따라서 접점은 $\displaystyle{\left( \tan t,\frac{1}{2}\tan^2 t\right)}$이다.

$$y-\frac{1}{2}\tan^2 t=\tan t(x-\tan t)$$

$$y=\tan t \cdot x-\frac{1}{2}\tan^2 t$$

다음으로 수면의 방정식을 구하자.

수면을 나타내는 직선은 접선을 $y$축 방향으로 선분 BA의 길이만큼 평행이동했다고 가정하자.

$$\frac{h(t)}{\overline{AB}}=\cos t$$

$${\overline{AB}}=\frac{h(t)}{\cos t}$$

따라서 수면을 나타내는 직선의 방정식은 

$$y=\tan t \cdot x-\frac{1}{2}\tan^2 t +\frac{h(t)}{\cos t}\tag{2}$$

위에서 살펴본 바와 마찬가지로 (2)와 포물선이 만나는 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha,\beta$ (단, $\alpha<\beta$)라고 하자. 

$$\frac{1}{2}x^2=\tan t \cdot x-\frac{1}{2}\tan^2 t +\frac{h(t)}{\cos t}$$

$$x^2-2\tan t \cdot x+\tan^2 t -\frac{2h(t)}{\cos t}=0\tag{3}$$

(3)의 두 근이 $\alpha,\;\beta$이라고 하자.

$$\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^3=\frac{16\sqrt3}{27}$$

$$(\beta-\alpha)^3=\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^3$$

$$\beta-\alpha=\frac{4\sqrt3}{3}$$

한편 (3)에서 근과 계수와의 관계에 따라

$$\alpha+\beta=2\tan t,\;\;\alpha\beta=\tan^2 t-\frac{2h(t)}{\cos t}$$

$$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$$

$$\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^2=4\tan^2 t-4\tan^2 t+\frac{8h(t)}{\cos t}$$

$$\left(\frac{16}{3}\right)^2=\frac{8h(t)}{\cos t}$$

$$h(t)=\frac{2}{3}\cos t$$

2) 물의 양이 줄어들 때 수면은 기울기가 $\tan t$이고 점 $\displaystyle{\left(\sqrt3 , \frac{3}{2}\right)}$을 지나는 직선의 방정식으로 나타난다.

$$y=\tan t(x-\sqrt3)+\frac{3}{2}$$

직선 (2)와 일치할 때 높이를 구하면 된다.

$$\tan t \cdot x-\sqrt3 \tan t +\frac{3}{2}=\tan t \cdot x-\frac{1}{2}\tan^2 t +\frac{h(t)}{\cos t}$$

$$-\sqrt3 \tan t +\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\tan^2 t +\frac{h(t)}{\cos t}$$

$$\frac{h(t)}{\cos t}= \frac{1}{2}\tan^2 t -\sqrt3 \tan t +\frac{3}{2}$$

$$h(t)= \frac{1}{2}\tan^2 t \cos t -\sqrt3 \sin t +\frac{3}{2} \cos t$$

정리하면 아래와 같다.

$$h(t)=\begin{cases}\frac{2}{3}\cos t &\left(0\leq t\leq \frac{\pi}{6}\right)\\\frac{1}{2}\tan^2 t \cos t -\sqrt3 \sin t +\frac{3}{2} \cos t &\left( \frac{\pi}{6} \leq t\leq \frac{\pi}{3}\right) \\0 &\left( \frac{\pi}{3} \leq t\leq \frac{\pi}{2}\right) \end{cases}$$

마지막으로 $\displaystyle{\cos t_2=\frac{2\sqrt7}{7}}$일 때 $h(t_2)$의 값을 구하자.

 $\displaystyle{\cos t_2=\frac{2\sqrt7}{7}=\frac{2}{\sqrt7}<\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}}$

$$\therefore t_2>\frac{\pi}{6}$$

$\displaystyle{\cos t_2=\frac{2\sqrt7}{7}=\frac{2}{\sqrt7}>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}}$

$$\therefore t_2<\frac{\pi}{3}$$

$\displaystyle{\frac{\pi}{6}< t_2<\frac{\pi}{3}}$이고 $\displaystyle{\cos t_2=\frac{2\sqrt7}{7}}$에서 $\displaystyle{\sin t_2=\frac{\sqrt{21}}{7}}$, $\displaystyle{\tan t_2=\frac{\sqrt3}{2}}$ 

$$h(t_2)= \frac{1}{2}\tan^2 t_2 \cos t_2 -\sqrt3 \sin t_2 +\frac{3}{2} \cos t_2=\frac{3\sqrt7}{28}$$

1-4

$t=\pi/6$에선 미분 불가능하고 나머지는 모두 미분가능하다.

문제

다항식 $P(x)$가 음이 아닌 정수 $n$과 실수 $a_0,a_1, a_2,\cdots,a_n$(단, $a_n\not=0$)에 대하여

$$p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$으로 주어질 때, 다항식 $P(x)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$P(x)=x^k P(x)$ (단, $Q(x)$는 $Q(0)\not=0$인 다항식, $k$는 음이 아닌 정수)

예를 들어, $P(x)=x^5 -x^3$ 일 때, $k=3$이고 $Q(x)=x^2 -1$이다.

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$0<|x|<1$인 $x$에 대하여 $P(x)=5x^5 -4x^4 +x^3$의 값의 부호를 구하시오. 

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다음 조건을 만족하는 모든 다항식 $P(x)$의 집합을 $X$라 하자. 

$0<|x|<1$ 이면 $P(x)>0$이다.

집합 $X$의 원소인 다항식 $P(x)$를 위 제시문과 같이 $P(x)=x^k Q(x)$로 나타내었을 때, 가능한 $k$의 값을 모두 구하시오.

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다항식 $P_1(x)$와 $P_2(x)$가 다음 조건을 만족한다.

$0<x<1$이면 $P_1(x)>P_2(x)>0$이다.

다항식 $P_1(x)$와 $P_2(x)$를 위 제시문과 같이

$$P_1(x)=x^{k_1}Q_1(x),\quad P_2(x)=x^{k_2}Q_2(x)$$

로 나타내었을 때, $k_1$과 $k_2$의 크기를 비교하시오.

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다항식 $P_1(x),P_2(x),P_3(x)$가 다음 조건을 모두 만족할 수 있는지 논하시오.

(가) $0<x<1$이면 $0<P_1(x)<P_2(x)<P_3(x)$ 이다.

(나) $-1<x<0$이면 $P_1(x)<P_3(x)<0<P_2(x)$ 이다.

2-1

$$P(x)=5x^5-4x^4 +x^3 =x^3(5x^2 -4x+1)\tag{1}$$

이때 이차방정식 $5x^2-4x+1=0$에서 판별식을 $D$라고 하자.

$D=2^2-5=-1<0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $5x^2-4x+1>0$이다.

따라서 $-1<x<0$일 때는 $x^3<0$이므로 $P(x)<0$,

$0<x<1$일 때는 $x^3>0$이므로 $P(x)>0$이다.

2-2

$k$는 음이 아닌 정수이므로 다음과 같이 나누어 생각하자.

(i) $k=0$일 때, $P(x)\in X$라면 $Q(x)$는 위에서 확인한 $5x^2-4x+1$이다. 즉, $-1<x<1$에서 항상 양수인 $Q(x)$가 존재하므로 $k=0$은 가능하다.

(ii) $k$의 값이 짝수일 때, $P(x)\in X$라면 $x^{k}$은 $0<|x|<1$에서 항상 양수이고, 즉, $-1<x<1$에서 항상 양수인 $Q(x)$가 존재하므로 가능하다.

(iii) $k$의 값이 홀수일 때, $P(x)\in X$라면 $-1<x<0$에서 $x^{k}<0$이므로 $Q(x)<0$이고, $0<x<1$에서 $x^{k}>0$이므로 $Q(x)>0$이어야 한다.

$Q(x)$는 다항식이므로 함수 $y=Q(x)$는 모든 실수에서 연속이다.

$$\lim_{x\rightarrow 0-}Q(x)=\lim_{x\rightarrow 0+}Q(x)=Q(0)\tag{2}$$

조건에서 $Q(0)\not=0$이므로 (2)는 모순이다. 

따라서 $K$의 값은 홀수가 될 수 없다.

(i), (ii), (iii)에 따라 가능한 $k$의 값은 $0$을 포함한 짝수이다.

2-3

$0<x<1$에서 $k_1<k_2$이면 $x^{k_1}>x^{k_2}>0$이다.

조건에서 $P_1(x)>P_2(x)>0$이므로 다시 정리하면 아래와 같다.

$$P_1(x)-P_2(x)=x^{k_1}Q_1(x)-x^{k_2}Q_2(x)>0$$

(i) $Q_1(x)>Q_2(x)$일 때.

만약 $k_1>k_2$라면 

$$x^{k_2}(x^{k_1-k_2}Q_1(x)-Q_2(x))>0$$이므로 $$x^{k_1-k_2}Q_1(x)-Q_2(x)>0$$이다.

함수 $f(x)=x^{k_1-k_2}Q_1(x)-Q_2(x)$는 모든 실수에서 연속이고 $\lim_{x\rightarrow0+}=f(0)\geq 0$이다.

또한, $f(0)=-Q_2(0)$이므로 $Q_2(0)\leq0$이다.

한편, 함수 $Q_2(x)$도 연속함수이므로 $\lim_{x\rightarrow 0+}Q_2(x)=Q_2(0)<0$이다. 

모순이 되므로 이를 만족하는 $Q_2(x)$가 존재하지 않는다.

따라서 $k_1 \leq k_2$이다.

(ii) $Q_1(x)=Q_2(x)>0$일 때, $k_1 \leq k_2$임은 자명하다.

(iii)  $0<Q_1(x)<Q_2(x)$일 때도, $k_1 \leq k_2$임은 자명하다.

(i), (ii), (iii)에 따라 $k_1 \leq k_2$이다.