테일러 급수(Taylor series)

정의

테일러 급수는 어떤 점에서 무한 번 미분가능한 함수를 그 점에서 미분계수 값으로 계산할 수 있는 무한급수로 표현된 함수로 나타내는 것이다. 

결과를 적으면 아래와 같다. $a=0$일 때는 맥클로린 급수라고 부른다.

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

(단, $f^{(n)}(a)$은 $n$계 미분계수를 나타낸다.) 

함수 가운데 다항함수는 다루기 매우 쉽다. 테일러 급수는 여러 가지 함수를 다루기 쉬운 다항함수로 근사시키는 방법이다. 예로 $f(x)=\sin x$를 살펴보자. $f(x)=\sin x$와 아주 가까운 다항함수 $y=g(x)$를 찾아 나가기로 하자.

먼저 1차 함수는 아주 간단하다. $x=0$일 때, 접선의 방정식은  $y=x$이다. 

($\because \; \sin0=0,\;\; f^{\prime}(0)=\cos0=1$) 

$g(x)=x$로 놓자.

$0$에 아주 가까운 $x$ 값에 대하여 $\sin x \approx x$라고 할 수 있다. (참고 : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}$)

접선은 직선이므로 $0$에서 멀어지면 오차가 커지는데 이를 줄이기 위해 3차 함수를 만들어 보자.

$$\sin 0=g(0), \;\; \sin^{\prime} 0 = g^{\prime}(0),\;\; \sin^{\prime \prime} 0=g^{\prime \prime} (0),\;\; \sin^{(3)} 0= g^{(3)}(0)$$인 다항함수를 찾아야 하므로 $$ g(x)= c_0 +c_1 x +c_2 x^2 +c_3 x^3 $$으로 놓고 계수를 찾아 보자.

$\sin 0=g(0)$에서 $c_0 =0$

$\sin^{\prime} 0 =g^{\prime} (0)$에서 $1=c_1 +2c_2 \cdot 0 +3c_3 \cdot 0^2$ 이므로 $c_1=1$

$\sin^{\prime\prime} 0 =g^{\prime \prime} (0)$에서 $0=2\cdot 1 \cdot c_2 +3\cdot 2 \cdot c_3 \cdot 0$이므로 $c_2 =0$

$\sin^{(3)} 0 =g^{(3)} (0)$에서 $-1=3\cdot 2 \cdot 1 \cdot c_3$이므로 $\displaystyle{c_3 = -\frac{1}{3!}}$

$$\sin x \approx x-\frac{1}{3!}x^3$$으로 놓을 수 있다.

아래에 차수에 따른 그래프를 보면 차수가 높으면 상당히 비슷해짐을 알 수 있다.

 

(차수가 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13 일 때 그림이다.)

 

이제, 일반적으로 $x=a$에서 무한 번 미분가능한 함수 $y=f(x)$와 비슷한 다항함수를 찾아보자. 

$ \forall n \in \mathbb{N}$, $f(a)=g(a),\;\; f^{(n)}(a)=g^{(n)}(a)$인 다항함수를 찾기 위해 

$$g(x)=c_0 +c_1 (x-a) +c_2 (x-a)^2 +\cdots +c_n (x-a)^n +\cdots $$로 놓고 계수를 찾으면 된다.

$f(a)=c_0$이고, 차례로 미분해 나가며 $x=a$를 대입하면 아주 쉽게 $f^{(n)}(a)=n! \cdot c_n$임을 알 수 있다.

위에 적었던 결론을 얻을 수 있다.

$$f(x)=f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!} (x-a) +\frac{f^{(2)}(a)}{2!} (x-a)^2 +\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n +\cdots $$

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

아래 그림은 $f(x)=e^x$와 $f(x)=ln(1+x)$의 그래프와 차수에 따른 근사 다항함수 그래프를 같이 보여주고 있다. ($a=0$인 테일러 함수 다시 말해 맥클로린 함수의 그래프이다. 가져온 곳은 위키백과