함수의 정의

수학에서 두 집합 사이의 원소를 관련짓도록 하는 개념을 쓸 때가 많다. 학생들 시험 점수를 매기는 일을 예로 들면 학생을 출석 번호로 나타내면 집합 $X=\{1,2,3 \}$의 원소에 집합 $Y=\{A,B,C,D\}$의 원소를 하나씩 연결하는 것이다. 이러한 대응이 바로 함수이다. 함수는 때로 사상(mapping) 또는 변환(transformation)으로 부른다. 

참고 함수의 역사

함수의 역사

 

$X$와 $Y$가 공집합이 아닌 집합이라고 하자. $X$로부터 $Y$로의 함수 $f$는 $X$의 원속 각각에 $Y$의 원소를 단 하나만 대응시킨 것이다. 함수는 $f(x)=y$와 같이 적고 이것은 원소 $x$에 함수 $f$에 의해 대응된 원소가 $y$임을 나타낸다. 엄밀한 함수의 정의는 아래와 같다.

정의 1

두 집합 $X$와 $Y$의 원소 사이에 관계 $f$가 아래를 만족하면 함수라고 한다.

1. $\forall\;\;x \in X$에 대하여  $y=f(x)$인 $y \in Y$가 반드시 존재한다.

2. $x_1 ,x_2 \in X$일 때, $x_1 =x_2$이면 $f(x_1 )=f(x_2)$이다.

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수 $f$를 $f:X\rightarrow Y$로 적는다.

정의 2

$f:X\rightarrow Y$에서 $X$를  $f$의 정의역(domain), $Y$를 $f$의 공역(codomain)이라고 한다. $f(x)=y$라면 $y$는 $x$의 상(image)로 $x$는 $y$의 원상(preimage)로 부른다. $X$의 모든 원소에 대응되는 모든 상들의 집합을 $f$의 치역(range) 또는 상(image)이다. 정의역과 공역이 같고 정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)$인 두 함수는 $f,g$는 서로 같다.($f=g$)

$f:X\rightarrow Y$에서 $S\subset X$일 때, $S$의 상은 $f(S)=\{f(s) |s \in S\}$로 적는데 이 집합은 $Y$의 부분집합이다. 

따라서, 치역은 $f(X)$로 적는다.

함수 $f$에서 정의역의 임의의 원소 $x$는 독립변수(independent variable) 치역의 원소 $y$는 종속변수(dependent variable)로 부른다. 함수를 쉽게 다루기 위한 몇 가지 방법이 있다. 아래와 같은 화살 다이어그램이 있고 함수 기계로 나타내기도 한다.

 

가장 많이 사용하는 것이 그래프이다. 그래프(graph)는 아래와 같은 순서쌍으로 이루어진 집합이다. 아래 집합을 직교좌표축(cartesian coordinate)에 나타내면 함수를 쉽게 다룰 수 있다.

$$G=\{(x,f(x))|x\in D\}$$

정의 3

$f:X\rightarrow Y$에서

$\forall x_1 ,x_2 \in X\;\;f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1 =x_2$이면 $f$는 단사 함수(one-to-one 또는 injection)이다.

$\forall y\in Y, \;\;\exists x\in X (f(x)=y)$라면 즉, $f(X)=Y$이면 $f$는 전사 함수(onto 또는 surjection)이다.

전사이고 단사이면 전단사 함수(일대일 대응: one-to-one correspondence 또는 bijection)이다.

정의 4

$f:X\rightarrow Y$가 전단사 함수일 때, $f(x)=y$인 $y$에 $x$를 대응시키는 함수를 역함수라고 하고 $f^{-1}$로 적는다. $$f^{-1}:Y\rightarrow X\;  \;\;(f^{-1}(y)=x)$$

정의 5

$f:X\rightarrow Y$에서 $\forall x_1 ,x_2 \in X, \;\;x_1 <x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)$이면 증가함수(increasing function)또는 단조(monotonic)증가함수로 $f(x_1)< f(x_2)$이면 엄격한 증가함수(strictly insreasing function)으로 부른다.

마찬가지로 $f:X\rightarrow Y$에서 $\forall x_1 ,x_2 \in X, \;\;x_1 <x_2 \Rightarrow f(x_1)\geq f(x_2)$이면 감소함수(decreasing function) 또는 단조(monotonic)감소함수로 $f(x_1)> f(x_2)$이면 엄격한 감소함수(strictly desreasing function)으로 부른다.

보기 

1. 아래에서 $f(x_1)=f(x_2)=y_2$이지만 $x_1 \not=x_2$이므로 함수 $f$는 일대일 함수가 아니다.

2. $f(x)=x^2$

$f(-1)=f(1)=1$이지만 $-1\not=1$이므로 단사 함수가 아니다.

 

3. 모든 양의 홀수의 집합 $S=\{y|y=2n-1,\;n \in \mathbb{N}\}$라고 하자.

$f:\mathbb{N}\rightarrow S :\;\;f(n)=2n-1$이라고 하자.

1) $\forall m,n \in S\;\;f(m)=f(n) \Rightarrow 2m-1=2n-1 \Rightarrow m=n$이므로 함수 $f$는 단사 함수이다.

2) $\forall t\in S$에 대하여 $t=2k-1=f(k)$이므로 $f(\mathbb{N})=S$이다. 다시 말해 함수 $f$는 전사 함수이다.

1) 2)에 의해 함수 $f$는 전단사 함수이다.

따라서 역함수가 존재하고 $\displaystyle{f^{-1}(s)=\frac{s+1}{2}}$이다.