힐베르트 공리(Hilbert’s axioms)

이글은 위키피디아 힐베르트 공리를 우리말로 옮긴 것입니다.

유클리드 ‘원론’은 오랫동안 가장 모범적인 수학 교과서였다. 그러나 완벽한 것은 없는 법 훗날 ‘극한’ 개념이 확립되면서 부족한 부분이 발견되었다. 힐베르트는 1899년 저서 ‘기하의 바탕(Grundlagen der Geometrie : The Foundations of Geometry)’ 유클리드 기하를 현대적으로 다루기 위해 부족한 공리를 채울 것을 제안하였다. 처음에 공리 21개를 제안했지만 후에 무어가 다른 공리로 공리 하나를 증명하여 오늘날을 20개 공리가 남아 있다.

힐베르트 공리는 여섯 가지 기본 개념으로 만들었다.

세 가지 기본 용어

• 점 (point)
• 선 (line)
• 면 (plane)

세 가지 기본 관계

• 사이 (Betweenness)
• 놓여 있다. (Lies on)
• 합동 (Congruence)

I. 들어감(Incidence)

1. 임의의 두 점 $A,B$을 모두 포함하는 직선 $a$가 존재한다.

2. 임의의 두 점을 잇는 직선은 단 하나뿐이다.

3. 직선 위에는 적어도 두 점이 존재한다.

4. 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A,B,C$을 모두 포함하는 평면 $\alpha$이 반드시 존재한다.

5. 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A,B,C$을 모두 포함하는 평면 $\alpha$는 단 하나뿐이다.

6. 직선 $a$ 위에 있는 두 점 $A,B$이 평면 $\alpha$ 위에 있다면 직선 $a$ 위에 있는 모든 점이 평면 $\alpha$ 위에 있다.

7. 두 평면 $\alpha,\beta$가 한 점 $A$를 공유하면 적어도 하나 다른 점 $B$를 공유한다.

8. 한 평면에 있지 않은 최소한 네 점이 존재한다.

II. 순서(Order)

1. 점 $B$가 두 점 $A$와 $C$ 사이에 있다면 점 $B$가 두 점 $C$와 $A$사이에 있고 세 점을 모두 포함하는 직선이 존재한다.

2. 한 직선 위에 두 점 $A$와 $C$이 있다면 두 점 사이에 있는 점 $B$가 하나 있다.

3. 한 직선 위에 세 점이 있다면 다른 두 점 사이에 있는 것은 하나뿐이다.

4. 파스크(Pasch) 공리 : 세 점 $A,B,C$가 같은 직선 위에 있지 않고 직선 $a$는 평면 $ABC$에 놓인 직선이며 직선 $a$는 세 점 $A,B,C$ 가운데 어느 점도 지나지 않는다고 하자. 그러면 직선 $a$가 선분 $AB$ 위에 있는 점을 지날 때, 직선 $a$는 선분 $BC$나 선분 $AC$에 있는 점을 지난다.

III. 합동(Congruence)

1. 어떤 직선 $a$ 위에 두 점 $A,B$가 있고 점 $A^{\prime}$이 같은 직선 또는 다른 직선 $a^{\prime}$에 있다면 항상 선분 $AB$와 선분 $A^{\prime}B^{\prime}$가 합동이 되게 하는 점 $B^{\prime}$을 찾을 수 있다. 이것을 $AB\cong A^{\prime}B^{\prime}$로 나타낸다. $AB\cong AB$는 당연하다. 간단하게 말하면 선분 $AB$를 주어진 점과 직선으로 옮겨 놓을 수 있다는 것이다.

2. $AB\cong A^{\prime}B^{\prime}$이고 $AB\cong A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}$이면 $A^{\prime}B^{\prime}\cong A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}$이다.

3. 어떤 직선 $a$ 위에 있는 두 선분 $AB$와 $BC$가 점 $B$로부터 같은 쪽에 있지 않고 직선 $a$ 또는 다른 직선 $a^{\prime}$ 위에 있는 두 선분 $A^{\prime}B^{\prime}$와 $B^{\prime}C^{\prime}$가 점 $B^{\prime}$만 공유한다고 하자. 만일, $AB\cong A^{\prime}B^{\prime}$이고 $BC\cong B^{\prime}C^{\prime}$라면 $AC=A^{\prime}C^{\prime}$이다.

4. 평면 $\alpha$ 위에 각 $\angle(h,k)$이 있고 평면 $\alpha^{\prime}$ 위에 직선 $a^{\prime}$이 있다. 또한 평면 평면 $\alpha^{\prime}$ 위에 직선 $a^{\prime}$에 어떤 방향을 정의한다. 직선 $a^{\prime}$ 위의 점 $O^{\prime}$에서 정해진 방향으로 나가는 반직선을 $h^{\prime}$으로 나타내자. $\angle(h,k)$ 또는 $\angle(k,h)$와 합동인 각 $\angle(h^{\prime},k^{\prime})$ 또는 $\angle(k^{\prime},h^{\prime})$을 만드는 반직선 $k^{\prime}$이 평면 $\alpha^{\prime}$ 위에 있다. 이를 기호로 $\angle(k,h)\cong\angle(h^{\prime},k^{\prime})$로 적는다.

2-1. $\angle(k,h)\cong\angle(h^{\prime},k^{\prime})$이고 $\angle(h^{\prime},k^{\prime})\cong\angle(h^{\prime\prime},k^{\prime\prime})$이면 $\angle(h,k)\cong\angle(h^{\prime\prime},k^{\prime\prime})$이다.(2번 공리와 같은 공리)

5. 두 삼각형 $ABC$와 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$에서 $AB\cong A^{\prime}B^{\prime},AC\cong A^{\prime}C^{\prime}, \angle BAC\cong \angle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}$이면 $\angle ABC\cong \angle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$이다.

IV. 평행(Parallels)

1. 유클리드 평행선 공준 : 직선 $a$와 위에 있지 않은 점 $A$가 있을 때, 점 $A$를 지나 직선 $a$와 만나지 않는 직선은 하나뿐이다.

V. 연속(Continuity)

1. 아르키메데스 공리 : 임의의 두 선분 $AB$와 $CD$가 주어지면 반직선 $AB$를 따라 $CD$를 $n$배하여 $A$로부터 시작하여 $B$를 지나는 선분을 만들 수 있다.

2. 완비공리 : 원래 원소들 사이에 존재하는 관계를 보존하는 순서와 합동을 가진 직선 위의 점들을 확장한 집합이 동시에 공리 Ι,Ⅱ,Ⅲ,Ⅴ-1를 따르는 순서와 합동의 기본성질을 만족하는 것은 불가능하다.

힐베르트가 발표한 공리엔 아래와 같은 21번째 공리가 있었다.

Ⅱ-4 한 직선 위에 네 점 $A,B,C,D$가 있다면 $B$는 $A$와 $C$ 사이에 있고 $A$와 $D$ 사이에도 있으며 $C$는 $A$와 $D$ 사이에 있고 $B$와 $D$ 사이에도 있도록 이름 붙일 수 있다.

무어(E.H. Moore)와 무어(R.L. Moore)가 1902년 다른 공리로부터 증명할 수 있음을 보여서 정리가 되고 뒤 이어 있던 파스크(Pasch) 공리가 공리 Ⅱ-4가 되었다.

바깥고리 :http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_system_of_axioms