합성함수와 음함수의 미분

미분은 도함수는 구하는 일이다. 도함수는 아래와 같이 정의하였다.

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

복잡한 함수는 간단한 함수를 연산하거나 합성하여 만들어진다. 이제 정의를 바탕으로 합성함수를 미분해보자.

합성함수의 미분

함수 $y=(1+x^3)^4$는 복잡하다. 이 함수는 두 함수 $f(u)=u^4$, $u=1+x^3$가 합성된 것으로 생각하자.

두 함수 $y=f(u), \;\;u=g(x)$가 모두 미분가능하다고 하자.

$ y=f(g(x))$의 도함수는 정의에 따라 아래와 같다.

$$\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(g(x+\mathrm{\Delta }x))-f(g(x))}{\mathrm{\Delta }x}$$

$x$의 증분 $\Delta x$에 대하여 $u$의 증분 $\Delta u$라고 하자.

$\Delta u=g(x+ \Delta x)-g(x)$이므로 $g(x+\Delta x)=u+\Delta u$이다.

따라서,

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(g(x+\mathrm{\Delta }x))-f(g(x))}{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}\cdot \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

두 함수가 모두 미분가능하므로

$$\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{f(u+\mathrm{\Delta }u)-f(u)}{\mathrm{\Delta }u}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

이다. 따라서

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

다른 표현으로 적는다면

$$y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$이다. 이것을 간단히 사슬법칙(chain rule)으로 부르자. 이제 함수 $y=(1+x^3)^4$를 전개하지 않고도 쉽게 미분할 수 있다. $y^{\prime}=4(1+x^3)^3 \cdot (3x^2)=12x^2 (1+x^3)^3$ 합성함수의 미분법으로 다른 여러 가지 미분법을 쉽게 이해할 수 있다.

음함수의 미분

방정식 $f(x,y)=0$에서 $x,y$가 정의되는 구간을 적당히 정하면 $y$를 $x$의 함수로 생각할 수 있다. 예를 들면 $x^2 +y^2 -1=0$은 원의 방정식이다. 여기서 $y \geq 0$으로 생각한다면 $y=\sqrt{1-x^2}$이다. 이와같이 $y$는 $x$의 함수로 생각할 수 있다. $y \leq 0$일 때는 $y=-\sqrt{1-x^2}$이다.

방정식 $f(x,y)=0$에서 $y$를 $x$의 함수로 생각할 때, 이 방정식을 $y$의 $x$에 대한 음함수 표현이라고 한다.

음함수 표현을 언제나 양함수로 쉽게 고칠 수 있는 것은 아니다. 음함수 미분은 굳이 양함수로 고치지 않고 $y$를 $x$의 함수로 보고 합성함수의 미분을 써서 그대로 미분하는 것이다.

$y=\sqrt{1-x^2}$에서 $\displaystyle{y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}$로 구하는 것과 음함수 표현 $x^2 +y^2 -1=0$에서 미분한 결과가 다르지 않다.

$${\displaystyle \frac{d{x}^2}{dx}+\frac{d{y}^2}{dx}=0}$$

$${\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0}$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

문제 오른쪽 그림과 같이 수면에서 60m인 지점 $P$에서 매초 8m씩 116m인 줄을 당길 때 2초인 순간 배가 끌려오는 속력을 구하여라.

 

풀이

$t$초 일 때, 줄의 길이를 $x$, 배와 $Q$ 사이의 거리를 $y$로 놓는다.

$$y^2+{60}^2=x^2$$

이다. 한편 $\displaystyle{\frac{dx}{dt}=-8}$이고 $t=2$일 때, $x=100,\;y=80$이다.

이제 주어진 식을 미분하면

$$2x\frac{dy}{dt}=2y\frac{dx}{dt}$$

에서 $\displaystyle{\frac{dy}{dt}=-10}$임을 구할 수 있다. 따라서 속력은 $10$이다.

 

 

매개변수로 나타낸 함수의 미분

일반적으로 두 변수 $x$, $y$ 사이의 관계를 변수 $t$를 매개로 하여 $$x=f(t),=g(t)$$의 꼴로 나타낼 때, 변수 $t$를 매개변수로 부르고 이와 같은 표현을 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.

예를 들면 원의 방정식을 $x$축 양의 방향과 이루는 각 $t$를 매개변수로 하여 나타내면

$$x=r\cos t,y=r\sin t$$ 로 나타낼 수 있다.

이제 매개변수로 나타낸 함수를 미분해 보자.

매개변수로 나타낸 함수 $$x=f(t),y=g(t)$$가 $t$에 대하여 미분가능하고 $f^{\prime}(t)\not=0$일 때, $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$를 구해 보자.

합성함수의 미분법에 의하여

$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$$

이고 $\displaystyle{\frac{dx}{dt}\not=0}$이므로 다음이 성립한다.  

$${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}}$$