2. Limit And Continuity
수학이야기/미적분 2016. 2. 5. 14:3517 세기 수학자들은 지구 위나 가까운 곳에 있는 물체의 운동에 흥미를 가졌다. 이 연구는 어떤 순간에서 물체의 속력과 방향과 관련 있다. 그들은 운동 방향이 움직이는 경로의 접선임을 알아냈다. 극한 개념은 물체의 속도와 곡선의 접선을 찾는데 기본이 된다. 이 장에서는 처음엔 직관적으로 나중에 엄밀하게 살펴보자. 함수의 변화를 기술하는데 극한을 사용한다. 어떤 함수는 $x$의 작은 변화에 $f(x)$도 작게 변화하는 연속적인 변화와 다르다. 함숫값이 건너뛰거나 아주 변덕스럽거나 한 없이 커지거나 작아진다. 극한 표현은 이런 행동을 구별하는 엄밀한 방법을 제공한다.
Definition The average rate of Change of $y=f(x)$ with respect to $x$ over the interval $[x_1,x_2]$ is
$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_1+ h)-f(x_1)}{h}, \quad h\not=0$$
이것을 기하적으로 해석하면 할선의 기울기와 같다.
함수 $y=f(x)$에서 $x$가 $x=a$에서 $x=a+\Delta x$까지 변할 때, $y$의 변화량 $\Delta y$는 $f(a+ \Delta x)-f(a)$이다.
이때, 자르는 선(secant line) 기울기 $m$은 아래와 같다.
$$m= \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(a+ \Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$
함수 $ f(x)$에서 $x$가 $p$와 다른 값을 가지면서 $p$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 $x\rightarrow p$일 때 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 하고 아래와 같이 나타낸다.
$x \rightarrow p$일 때 $f(x) \rightarrow L$ 또는 $ \displaystyle { \lim_{x \rightarrow p} f(x)=L }$
The Precise Definition of a Limit
더욱 엄밀한 정의는 볼짜노(Bolzano) 가 제안한 $\varepsilon-\delta$ 를 써서 정의한다.
Defninition Let $f(x)$ be defined on an open intervaal about $x_0$, except possibly at $p$ itself. We say that the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $p$ is the number L, and write
$$\lim_{x\rightarrow p}f(x)=L$$
if $\forall \varepsilon >0$, there exists a corresponding number $ \delta >0$ such that for all $x$,
$$0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$
$\forall \varepsilon >0$에 대하여 다음을 만족하는 $ \delta >0$가 존재한다.
모든 실수 $x$에 대하여 $0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$
보기
1. $f(x)=x$
$\forall \varepsilon>0$에 대하여 $\displaystyle{\delta=\frac{1}{2}\varepsilon}$이라고 하면
$0<|x-p|<\delta$인 $\forall x$에 대하여 $|f(x)-p|<\delta<\varepsilon$이다.
$\therefore\;\;\displaystyle{\lim_{x\rightarrow p}x=p}$
2. $f(x)=x^2 $
$\forall \varepsilon>0$에 대하여 $x$가 $p$에 충분히 가깝다면 $|x-p|<1$이라고 할 수 있다.
그러면 $|x| \leq |p|+1$이므로 $|x+p| \leq|x|+|p| \leq 2|p|+1$이다.
이제 $\displaystyle{\delta=min \bigg(1,\frac{\varepsilon}{2|p|+1}\bigg)}$이라고 하자.(단, $min(x,y)$는 $x,y$ 가운데 크지 않은 것)
$0<|x-p|<\delta$인 $\forall x$에 대하여1) $\displaystyle{1\leq \frac{\varepsilon}{2|p|+1}}$이라고 하면 $2|p|+1 \leq \varepsilon$이므로
$|f(x)-p^2 |=|x^2 -p^2|=|x-p||x+p|<|x-p|(2|p|+1)<2|p|+1 \leq \varepsilon$이다.
2) $\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|p|+1}<1}$이라고 하면
$|f(x)-p^2 |=|x^2 -p^2|=|x-p||x+p|<|x-p|(2|p|+1)<\varepsilon$이다.
$\therefore\;\;\displaystyle{\lim_{x\rightarrow p}x^2 =p^2}$
함수의 그래프가 아래와 같다면 $x=p$인 점에서 아무리 작게 $\delta$를 잡아도 정의를 만족할 수 없다. 이런 경우 발산한다고 한다.
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하지만 $\displaystyle{f(x)=\sin\frac{1}{x}}$은 직관적으로 극한을 알기 어렵다. 그래프는 아래와 같다.
먼저 $x$축과 만나는 점을 찾아 보자.
$\displaystyle{\sin \frac{1}{x}=0}$에서 $\displaystyle{\frac{1}{x}=\pm n\pi}$이다.
$\therefore\;\;\displaystyle{x=\pm \frac{1}{n\pi}}$
$y=1$이라고 하면 $\displaystyle{\sin \frac{1}{x}=1}$에서 $\displaystyle{\frac{1}{x}=2n\pi +\frac{\pi}{2}}$이다.
$\therefore\;\;\displaystyle{x= \frac{2}{(4n+1)\pi}}$
$y=-1$이라고 하면 $\displaystyle{\sin \frac{1}{x}=-1}$에서 $\displaystyle{\frac{1}{x}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}}$이다.
$\therefore\;\;\displaystyle{x= \frac{2}{(4n+3)\pi}}$
단, $n\in \mathbb{Z}$이다.
$x=0$에서 함숫값을 정의할 수 없고, $x=0$ 가까운 곳에서는 아주 빠르게 진동하고 있다. 이런 함수의 극한은 아래와 같은 정리를 써서 극한을 알아 볼 수 있다.
정리 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow p}f(x)=L}$이라면 $p$로 수렴하는 모든 수열 $\{x_n \}$에 대하여 수열 $\{f(x_n)\}$은 모두 $L$로 수렴한다.
즉, $\forall x_n \rightarrow p \Rightarrow f(x_n) \rightarrow L$이다. 역도 성립한다.
위에 주어진 함수에서 $\displaystyle{x_n = \frac{2}{(4n+1)\pi} \;\;(n \in \mathbb{N})}$이라고 하면 $n \rightarrow \infty$일 때, $x_n \rightarrow 0$이고 $f(x_n) \rightarrow 1$이다.
한편, $\displaystyle{x_n =\frac{2}{(4n+3) \pi} \;\; (n \in \mathbb{N})}$이라고 하면 $n\rightarrow \infty$일 때, $x_n \rightarrow 0$이고 $f(x_n)\rightarrow -1$이다.
$\therefore \;\;x\rightarrow 0$일 때, $\displaystyle{f(x)=\sin \frac{1}{x}}$은 발산한다.
함수의 연속성(Continuity)
함수 $f(x)$에서 $x=a$에서 함수값과 극한값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 $x=a$에서 연속이라고 한다.
아래를 모두 만족하면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이다.
1) $x=a$에서 정의되어 있고
2) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$가 존재하며
3) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)}$이다.
간단하게 적으면 $ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) }$이다.
문제. 함수 $\displaystyle{f(x)= \cases{\frac{x^2 -1}{x-1} \;\;\quad ( x \not= 1) \\1 \;\; \quad \quad \quad (x =1)}} $은 $x=1$에서 연속인가?
교육과정을 벗어난 내용이지만 생각해 봅시다.
심화. 함수$f(x)=\begin{cases}0 &x \in Q\\1& x \in R-Q\end{cases}$은 $x=0$에서 연속인가?
풀이) $x$가 유리수 값만을 가지면서 $0$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x) \rightarrow 0$이고 $x$가 무리수 값만을 가지면서 $0$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x) \rightarrow 1$이므로 극한값이 존재하지 않는다.
마찬가지로 생각해보면 이 함수는 모든 실수에서 불연속인 함수이다.
심화. 함수 $f(x)=\begin{cases}x &x \in Q\\x& 0 \in R-Q\end{cases}$은 $x=0$에서 연속인가?
풀이) $\forall \varepsilon>0$에 대하여 $\delta=\varepsilon$이라고 하자.
$0<|x-0|<\delta$인 유리수에 대하여 $|f(x)-f(0)|=|x|<\varepsilon$이다.
$0<|x-0|<\delta$인 무리수에 대하여도 $|f(x)-f(0)|=0<\varepsilon$이다.
따라서,$0<|x-0|<\delta$인 모든 실수 $x$에 대하여 $|f(x)-f(0)|=|x|<\varepsilon$이다.
정의에 따라
$$\therefore \lim_{x \rightarrow 0 }{f(x)}=0=f(0)$$
이다. 이 함수 `f(x)`는 `x=0`에서 연속이다.
다른 실수에 대하여는 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 `x=0`에서만 연속이다.
구간(interval)
두 실수 `a,b` 에 대하여 다음 실수의 부분집합 $ \{x| a < x < b\} ,\;\; \{x| a \leq x < b\} , \;\; \{x| a < x \leq b \} $, $\;\; \{x| a \leq x \leq b\}$을 구간이라고 한다. 각각을 `(a,b),\;[a,b),\;(a,b],\;[a,b]` 로 나타낸다.
특히, `(a,b)`는 열린구간(open interval) `[a,b]`는 닫힌구간(closed interval)이라고 한다. `\{x|a \lt x\}`도 구간이라고하며 `(a,\infty)`로 나타낸다. 마찬가지로 $\{x | x < b\}$는 `(-\infty,b)`와 같이 나타낸다.
실수전체의 집합 `\mathbb{R}`도 구간으로 보고, `(-\infty,\infty)`로 나타낸다. 함수 `f(x)`가 그 정의역에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, 연속함수라고 한다.
예) 함수$\displaystyle{f(x)= \frac{1}{x} }$에서 `x=0`불연속이지만 `x=0`은 정의역에 속하지 않는다. 정의역 `(-\infty,0) \cup (0, \infty)`의 모든 점에서 연속이므로 연속함수이다.
또, 함수`f(x)`가 열린구간 `(a,b)`의 모든 점에서 연속일 때, `f(x)`는 열린구간에서 연속이라고 한다.
함수 `f(x)`가 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+} f(x)=f(a), \;\; \lim_{x\rightarrow b-} f(x)=f(b)}$이면 함수는 닫힌구간 `[a,b]`에서 연속이라고 한다.
연속함수의 성질
1) 최대, 최소 정리
함수`f(x)`가 닫힌구간 `[a,b]`에서 연속이면, 이 함수는 닫힌구간 `[a,b]`에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.
2) 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)
함수`f(x)`가 닫힌구간 `[a,b]`에서 연속이고 `f(a) \not= f(b)`일 때, `f(a)`와 `f(b)`사이에 있는 임의의 값 `y_0`에 대하여 `f(c)=y_0`인 실수 `c`가 `a`와 `b`사이에 반드시 적어도 하나 존재한다.
Maximum and Minimum Theorem
Let $I=[a,b]$ be a closed bounded interval and let $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $I$. Then $f$ has an absolute maximun and an absolute minimum on $I$
proof
$f(I)=\{f(x) | x \in I\}$라고 가정하면 집합 $f(I)$는 공집합이 아니고 유계(bounded)이다.
따라서 최소상계(supremum)와 최대상계(infimum)가 존재한다.
$s^* =sup\; f(I),\quad s_* =inf\; f(I)$라고 하자.
$$s^* -\frac{1}{n}< f(x_n) \leq s^*\quad \forall n \in \mathbb{N}$$를 만족하는 $x_n \in I$가 존재한다.
$I$가 유계이므로 $X=(x_n)$도 유계이다. 그러므로 어떤 실수 $x^*$로 수렴하는 $X$의 부분수열 $X \prime=(x_{n_r})$이 존재한다. $I$가 닫힌 구간이므로 $x^* \in I$이다.
$f$가 $x=x^*$에서 연속이므로 $\lim(f(x_{n_r}))=f(x^*)$이다.
$$s^* -\frac{1}{n_{r}}< f(x_{n_r}) \leq s^*\quad \forall r \in \mathbb{N}$$
$$\lim( f(x_{n_r})) =s^*$$
$$\therefore \quad f(x^*)=\lim( f(x_{n_r})) =s^* =sup f(I)$$
그러므로 $f$는 $x=x^*$일 때 최댓값 $f(x^*)$을 가진다.
최솟값도 마찬가지로 증명할 수 있다.
문제. 구간 `[0, \pi]`에서 방정식 `x-\cos x=0`의 근이 존재하는 열린구간을 `(a,b)`라 할 때, $\displaystyle{|b-a| \leq \frac {\pi}{12}}$를 만족하는 상수 `a,b`를 구하고 그 이유를 설명하여라.
풀이) 그래프는 다음과 같다.
방정식의 근은 $\displaystyle{(0, \frac{\pi}{2 }]}$구간에 있으며`f(x)=x-\cos x`라 할 때,
$$f\big(\frac{\pi}{6} \big)=\frac{\pi}{6}- \frac{\sqrt3}{2} < 0 , \;\; f\big( \frac{\pi}{4 }\big)= \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt2}{2}> 0$$
이고 `f(x)`는 연속함수이므로 사잇값 정리에 의하여 `f(c)=0`이 되는 `c`가 열린구간 $\displaystyle{\big(\frac{ \pi}{6} ,\frac{ \pi}{ 4} \big)}$에 적어도 하나 있다.
문제 $n\in \mathbb{N}$일 때, $\displaystyle{\frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n}\bigg|x- \frac{1}{n} \bigg|= \frac{1}{2}}$를 만족하는 $x$가 구간 $[0,1]$에 존재함을 보여라.
사잇값 정리를 증명하기 위해서는 먼저 아래에 있는 근의 존재 정리를 증명해야 한다.
Location of Roots Theorem Let $I$ be an interval and let $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ be contiuous on $I$. If $\alpha<\beta$ are number in $I$ such that $f(\alpha)<0<f(\beta)$(or such that $f(\beta)<0<f(\alpha)$, then there exists a number $c \in(\alpha, \beta)$ such that $f(c)=0$.
proof
$\displaystyle{I_1 =[\alpha,\beta], \gamma= \frac{1}{2}(\alpha+\beta)}$이라고 하자.
만약 $f(\gamma)=0$이면 $c=\gamma$이므로 증명끝이다.
이제 $f(\gamma)>0$이면 $\alpha_2=\alpha,\quad \beta_2 =\gamma$로 $f(\gamma)<0$이면 $\alpha_2=\gamma,\quad \beta_2 =\beta$로 놓고 $I_2 =[\alpha_2,\beta_2]$하자.
$f(\alpha_2)<0,\quad f(\beta_2)>0$이므로 같은 방법으로 구간을 둘로 나누어 나간다.
$f(\alpha_k)<0,\quad f(\beta_k)>0$를 만족하는 구간 $I_1,I_2, \cdots, I_k=[\alpha_k, \beta_k]$를 생각하자.
$\displaystyle{\gamma_k=\frac{1}{2}(\alpha_k + \beta_k)}$로 하자.
$f(\gamma_k)=0$이라면 증명끝이고 그렇지 않다면 위와 같은 방법으로 $ I_{k+1}=[\alpha_{k+1}, \beta_{k+1}]$을 잡는다.
$f(\gamma_n)=0$인 $\gamma_n$을 찾는다면 증명끝이다.
모든 자연수 $n$에 대하여 $I_{n}=[\alpha_{n}, \beta_{n}]$에 속하는 $c$가 있다면
$f(\alpha_n)<0,\quad f(\beta_n)>0$이고
$\alpha_n<c<\beta_n$이므로 $0 \leq c-\alpha_n \leq\beta_n-\alpha_n$, $0 \leq\beta_n -c\leq\beta_n-\alpha_n$ 이다.
$\displaystyle{\beta_n-\alpha_n\leq \frac{1}{2^{n-1}}(\beta-\alpha)}$이므로
$c=\lim \alpha_n =\lim\beta_n$이고 $f$가 $x=c$에서 연속이므로
$\lim f(\alpha_n)=f(c) =\lim f(\beta_n)$이다.
한편 $\lim f(\alpha_n)\leq 0,\quad f\lim (\beta_n)\geq 0$이므로
$\therefore \quad f(c)=0$ Q.E.D
$g(x)=f(x)-y_0$로 놓으면 위 정리에 따라서 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)를 증명할 수 있다.
연속 확장 가능과 불가능
1) 연속 확장 가능
`x=1`에서 정의되어 있지 않은 함수 $\displaystyle{f(x)= \frac{x^2 -1}{x-1}}$은 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}f(x)}$의 극한값이 존재한다.
따라서, $\displaystyle{f(1)=\lim_{x\rightarrow 1}f(x)}$로 정의하면 `x=1`에서 연속이 된다. 이런 함수를 `x=1`에서 연속확장 가능한 함수라고 한다.
함수 $\displaystyle{ f(x)=x \sin \frac{1}{x}}$는 `x=0`에서 확장가능하다.
2) 연속 확장 불가능 $\displaystyle{f(x)=\sin \frac{1}{x}}$은 `x=0`에서 확장 불가능하다.
Definition A line $y=b$ is a horizontal asymptote of the graph of the graph of a funtion $y=f(x)$ if either
$$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=b\quad or \quad \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=b$$
분자의 차수가 분모의 차수보다 1 크다면 비스듬한 점근선(Oblique Asymptote)을 가진다.
$$f(x)=\frac{x^2 -3}{2x-4}$$
먼저 몫과 나머지를 구한다.
$$f(x)=\frac{x^2 -3}{2x-4}=\underbrace{\bigg(\frac{x}{2}+1\bigg)}_{\text{linear}\;\; g(x)}+\underbrace{\bigg(\frac{1}{2x-4}\bigg)}_{\text{remainder}}$$
$x\rightarrow \pm\infty$일 때, $f(x)$와 $g(x)$ 사이의 수직 거리는 $0$에 한없이 가까워진다.
따라서 직선 $g(x)$가 점근선이다.
Definitions
1. We say that $f(x)$ approaches infinity as $x$ approaches $x_0$, and write
$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$$
if for every positive real number $B$ there exists a corresponding $\delta>0$ such that for all $x$
$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>B$$
2. We say that $f(x)$ approaches minus infinity as $x$ approaches $x_0$, and write
$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=-\infty$$
if for every negative real number $-B$ there exists a corresponding $\delta>0$ such that for all $x$
$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<-B$$
Definition A line $x=a$ is a vertical asypmtote of the graph of the graph of a function $y=f(x)$ if either$$\lim_{x\rightarrow a+}f(x)=\pm\infty\quad or \quad \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=\pm\infty$$
