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2. Limit And Continuity::::수학과 사는 이야기

2. Limit And Continuity

수학이야기/미적분 2016. 2. 5. 14:35
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17 세기 수학자들은 지구 위나 가까운 곳에 있는 물체의 운동에 흥미를 가졌다. 이 연구는 어떤 순간에서 물체의 속력과 방향과 관련 있다.  그들은 운동 방향이 움직이는 경로의 접선임을 알아냈다. 극한 개념은 물체의 속도와 곡선의 접선을 찾는데 기본이 된다. 이 장에서는 처음엔 직관적으로 나중에 엄밀하게 살펴보자. 함수의 변화를 기술하는데 극한을 사용한다. 어떤 함수는 x의 작은 변화에 f(x)도 작게 변화하는 연속적인 변화와 다르다. 함숫값이 건너뛰거나 아주 변덕스럽거나 한 없이 커지거나 작아진다. 극한 표현은 이런 행동을 구별하는 엄밀한 방법을 제공한다.

Definition The average rate of Change of y=f(x) with respect to x over the interval [x1,x2] is

ΔyΔx=f(x2)f(x1)x2x1=f(x1+h)f(x1)h,h0

이것을 기하적으로 해석하면 할선의 기울기와 같다.

함수 y=f(x)에서 xx=a에서 x=a+Δx까지 변할 때, y의 변화량 Δyf(a+Δx)f(a)이다.

이때, 자르는 선(secant line) 기울기 m은 아래와 같다.

m=ΔyΔx=f(a+Δx)f(a)Δx

함수 f(x)에서 xp와 다른 값을 가지면서 p에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 xp일 때 f(x)L수렴한다고 하고 아래와 같이 나타낸다.

xp일 때 f(x)L 또는 limxpf(x)=L

The Precise Definition of a Limit

더욱 엄밀한 정의는 볼짜노(Bolzano) 가 제안한 εδ 를 써서 정의한다.

Defninition Let f(x) be defined on an open intervaal about x0, except possibly at p itself. We say that the limit of f(x) as x approaches p is the number L, and write

limxpf(x)=L

if ε>0, there exists a corresponding number δ>0 such that for all x,  

0<|xp|<δ|f(x)L|<ε

ε>0에 대하여 다음을 만족하는 δ>0가 존재한다.  

모든 실수 x에 대하여 0<|xp|<δ|f(x)L|<ε

보기

1. f(x)=x 

ε>0에 대하여 δ=12ε이라고 하면

0<|xp|<δx에 대하여 |f(x)p|<δ<ε이다.

limxpx=p

2. f(x)=x2

ε>0에 대하여 xp에 충분히 가깝다면 |xp|<1이라고 할 수 있다.

그러면 |x||p|+1이므로 |x+p||x|+|p|2|p|+1이다.

이제 δ=min(1,ε2|p|+1)이라고 하자.(단, min(x,y)x,y 가운데 크지 않은 것) 

0<|xp|<δx에 대하여

1) 1ε2|p|+1이라고 하면 2|p|+1ε이므로

|f(x)p2|=|x2p2|=|xp||x+p|<|xp|(2|p|+1)<2|p|+1ε이다.

2) ε2|p|+1<1이라고 하면 

|f(x)p2|=|x2p2|=|xp||x+p|<|xp|(2|p|+1)<ε이다.

limxpx2=p2

위와 같이 엄밀한 정의로 극한을 다루는 일은 매우 복잡하고 어려운 일이다. 때문에 고등학교에선 함수의 그래프를 이용하여 직관적으로 극한을 다룬다. 아래 그림과 같이 ε>0에 대하여 언제나 p 가까운 곳에 δ 값을 정할 수 있다는 것이다.


함수의 그래프가 아래와 같다면 x=p인 점에서 아무리 작게 δ를 잡아도 정의를 만족할 수 없다. 이런 경우 발산한다고 한다.

 


하지만 f(x)=sin1x은 직관적으로 극한을 알기 어렵다. 그래프는 아래와 같다. 

먼저 x축과 만나는 점을 찾아 보자.

sin1x=0에서 1x=±nπ이다.   

x=±1nπ

y=1이라고 하면 sin1x=1에서 1x=2nπ+π2이다.  

x=2(4n+1)π

y=1이라고 하면 sin1x=1에서 1x=2nπ+3π2이다.  

x=2(4n+3)π

단, nZ이다.


x=0에서 함숫값을 정의할 수 없고, x=0 가까운 곳에서는 아주 빠르게 진동하고 있다. 이런 함수의 극한은 아래와 같은 정리를 써서 극한을 알아 볼 수 있다.

정리 limxpf(x)=L이라면 p로 수렴하는 모든 수열 {xn}에 대하여 수열 {f(xn)}은 모두 L로 수렴한다. 

즉, xnpf(xn)L이다. 역도 성립한다.

위에 주어진 함수에서 xn=2(4n+1)π(nN)이라고 하면 n일 때, xn0이고 f(xn)1이다. 

한편, xn=2(4n+3)π(nN)이라고 하면 n일 때, xn0이고 f(xn)1이다. 

x0일 때, f(x)=sin1x은 발산한다.

함수의 연속성(Continuity)

함수 f(x)에서 x=a에서 함수값과 극한값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 x=a에서 연속이라고 한다.

아래를 모두 만족하면 함수 f(x)x=a에서 연속이다.

1) x=a에서 정의되어 있고

2) limxaf(x)가 존재하며

3) limxaf(x)=f(a)이다.

간단하게 적으면 limxaf(x)=f(a)이다.

문제. 함수 f(x)={x21x1(x1)1(x=1)x=1에서 연속인가?

교육과정을 벗어난 내용이지만 생각해 봅시다.

심화. 함수f(x)={0xQ1xRQ은 x=0에서 연속인가?

풀이) x가 유리수 값만을 가지면서 0에 한없이 가까워지는 경우 f(x)0이고 x가 무리수 값만을 가지면서 0에 한없이 가까워지는 경우 f(x)1이므로 극한값이 존재하지 않는다.

마찬가지로 생각해보면 이 함수는 모든 실수에서 불연속인 함수이다.

심화. 함수 f(x)={xxQx0RQx=0에서 연속인가?

풀이) ε>0에 대하여 δ=ε이라고 하자.

0<|x0|<δ인 유리수에 대하여 |f(x)f(0)|=|x|<ε이다.

0<|x0|<δ인 무리수에  대하여도 |f(x)f(0)|=0<ε이다.

따라서,0<|x0|<δ인 모든 실수 x에 대하여  |f(x)f(0)|=|x|<ε이다.

정의에 따라

limx0f(x)=0=f(0)

이다. 이 함수 f(x)x=0에서 연속이다.

다른 실수에 대하여는 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 x=0에서만 연속이다.

구간(interval)

두 실수 a,b 에 대하여 다음 실수의 부분집합  {x|a<x<b},{x|ax<b},{x|a<xb}, {x|axb}을 구간이라고 한다. 각각을 (a,b),;[a,b),;(a,b],;[a,b] 로 나타낸다.

특히, (a,b)는 열린구간(open interval) [a,b]는 닫힌구간(closed interval)이라고 한다. {xa<x}도 구간이라고하며 (a,)로 나타낸다. 마찬가지로 {x|x<b}(-,b)와 같이 나타낸다.

실수전체의 집합  R도 구간으로 보고, (-,)로 나타낸다. 함수 f(x)가 그 정의역에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, 연속함수라고 한다.

예) 함수f(x)=1x에서 x=0불연속이지만 x=0은 정의역에 속하지 않는다. 정의역 (-,0)(0,)의 모든 점에서 연속이므로 연속함수이다.

또, 함수f(x)가 열린구간 (a,b)의 모든 점에서 연속일 때, f(x)는 열린구간에서 연속이라고 한다.

함수 f(x)가 열린구간에서 연속이고, limxa+f(x)=f(a),limxbf(x)=f(b)이면 함수는 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 한다.


 

연속함수의 성질

1) 최대, 최소 정리

함수f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면, 이 함수는 닫힌구간 [a,b]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

2) 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)

함수f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)¬=f(b)일 때, f(a)f(b)사이에 있는 임의의 값 y0에 대하여 f(c)=y0인 실수 cab사이에 반드시 적어도 하나 존재한다.

Maximum and Minimum Theorem

Let I=[a,b] be a closed bounded interval and let f:IR be continuous on I. Then f has an absolute maximun and an absolute minimum on I  

proof

f(I)={f(x)|xI}라고 가정하면 집합 f(I)는 공집합이 아니고 유계(bounded)이다.

따라서 최소상계(supremum)와 최대상계(infimum)가 존재한다.

s=supf(I),s=inff(I)라고 하자.

s1n<f(xn)snN를 만족하는 xnI가 존재한다.

I가 유계이므로 X=(xn)도 유계이다. 그러므로 어떤 실수 x로 수렴하는 X의 부분수열 X=(xnr)이 존재한다. I가 닫힌 구간이므로 xI이다.

fx=x에서 연속이므로 lim(f(xnr))=f(x)이다.

s1nr<f(xnr)srN

lim(f(xnr))=s

f(x)=lim(f(xnr))=s=supf(I)

그러므로 fx=x일 때 최댓값 f(x)을 가진다.

최솟값도 마찬가지로 증명할 수 있다. 

 

문제. 구간 [0,π]에서 방정식 x-cosx=0의 근이 존재하는 열린구간을 (a,b)라 할 때,  |ba|π12를 만족하는 상수 a,b를 구하고 그 이유를 설명하여라.

풀이) 그래프는 다음과 같다.

방정식의 근은 (0,π2]구간에 있으며f(x)=x-cosx라 할 때, 

f(π6)=π632<0,f(π4)=π422>0 

이고 f(x)는 연속함수이므로 사잇값 정리에 의하여 f(c)=0이 되는 c가 열린구간 (π6,π4)에 적어도 하나 있다. 

문제 nN일 때, 1nnn=1|x1n|=12를 만족하는 x가 구간 [0,1]에 존재함을 보여라.

사잇값 정리를 증명하기 위해서는 먼저 아래에 있는 근의 존재 정리를 증명해야 한다. 

Location of Roots Theorem Let I be an interval and let f:IR be contiuous on I. If α<β are number in I such that f(α)<0<f(β)(or such that f(β)<0<f(α), then there exists a number c(α,β) such that f(c)=0.

proof

I1=[α,β],γ=12(α+β)이라고 하자.

만약 f(γ)=0이면 c=γ이므로 증명끝이다.

이제 f(γ)>0이면 α2=α,β2=γf(γ)<0이면 α2=γ,β2=β로 놓고 I2=[α2,β2]하자.

f(α2)<0,f(β2)>0이므로 같은 방법으로 구간을 둘로 나누어 나간다.

f(αk)<0,f(βk)>0를 만족하는 구간 I1,I2,,Ik=[αk,βk]를 생각하자.

γk=12(αk+βk)로 하자.

f(γk)=0이라면 증명끝이고 그렇지 않다면 위와 같은 방법으로 Ik+1=[αk+1,βk+1]을 잡는다.

f(γn)=0γn을 찾는다면 증명끝이다.

모든 자연수 n에 대하여 In=[αn,βn]에 속하는 c가 있다면

f(αn)<0,f(βn)>0이고

αn<c<βn이므로 0cαnβnαn, 0βncβnαn 이다.

βnαn12n1(βα)이므로

c=limαn=limβn이고 fx=c에서 연속이므로

limf(αn)=f(c)=limf(βn)이다.

한편 limf(αn)0,flim(βn)0이므로

f(c)=0                                                                                    Q.E.D

g(x)=f(x)y0로 놓으면 위 정리에 따라서 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)를 증명할 수 있다.

연속 확장 가능과 불가능

1) 연속 확장 가능

x=1에서 정의되어 있지 않은 함수  f(x)=x21x1은   limx1f(x)의 극한값이 존재한다.

따라서,  f(1)=limx1f(x)로 정의하면 x=1에서 연속이 된다. 이런 함수를 x=1에서 연속확장 가능한 함수라고 한다.

함수 f(x)=xsin1xx=0에서 확장가능하다.

2) 연속 확장 불가능 f(x)=sin1xx=0에서 확장 불가능하다.

Definition A line y=b is a horizontal asymptote of the graph of the graph of a funtion y=f(x) if either

limxf(x)=borlimxf(x)=b

 

분자의 차수가 분모의 차수보다 1 크다면 비스듬한 점근선(Oblique Asymptote)을 가진다.

f(x)=x232x4

먼저 몫과 나머지를 구한다.

f(x)=x232x4=(x2+1)linearg(x)+(12x4)remainder

x±일 때, f(x)g(x) 사이의 수직 거리는 0에 한없이 가까워진다. 

따라서 직선 g(x)가 점근선이다.

 

Definitions

1. We say that f(x) approaches infinity as x approaches x0, and write

limxx0f(x)=

if for every positive real number B there exists a corresponding δ>0 such that for all x

0<|xx0|<δf(x)>B

2. We say that f(x) approaches minus infinity as x approaches x0, and write

limxx0f(x)=

if for every negative real number B there exists a corresponding δ>0 such that for all x

0<|xx0|<δf(x)<B

Definition A line x=a is a vertical asypmtote of the graph of the graph of a function y=f(x) if either

limxa+f(x)=±orlimxaf(x)=±

 

 

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