2. Limit And Continuity
수학이야기/미적분 2016. 2. 5. 14:3517 세기 수학자들은 지구 위나 가까운 곳에 있는 물체의 운동에 흥미를 가졌다. 이 연구는 어떤 순간에서 물체의 속력과 방향과 관련 있다. 그들은 운동 방향이 움직이는 경로의 접선임을 알아냈다. 극한 개념은 물체의 속도와 곡선의 접선을 찾는데 기본이 된다. 이 장에서는 처음엔 직관적으로 나중에 엄밀하게 살펴보자. 함수의 변화를 기술하는데 극한을 사용한다. 어떤 함수는 x의 작은 변화에 f(x)도 작게 변화하는 연속적인 변화와 다르다. 함숫값이 건너뛰거나 아주 변덕스럽거나 한 없이 커지거나 작아진다. 극한 표현은 이런 행동을 구별하는 엄밀한 방법을 제공한다.
Definition The average rate of Change of y=f(x) with respect to x over the interval [x1,x2] is
ΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x1+h)−f(x1)h,h≠0
이것을 기하적으로 해석하면 할선의 기울기와 같다.
함수 y=f(x)에서 x가 x=a에서 x=a+Δx까지 변할 때, y의 변화량 Δy는 f(a+Δx)−f(a)이다.
이때, 자르는 선(secant line) 기울기 m은 아래와 같다.
m=ΔyΔx=f(a+Δx)−f(a)Δx
함수 f(x)에서 x가 p와 다른 값을 가지면서 p에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 x→p일 때 f(x)는 L에 수렴한다고 하고 아래와 같이 나타낸다.
x→p일 때 f(x)→L 또는 limx→pf(x)=L
더욱 엄밀한 정의는 볼짜노(Bolzano) 가 제안한 ε−δ 를 써서 정의한다.
Defninition Let f(x) be defined on an open intervaal about x0, except possibly at p itself. We say that the limit of f(x) as x approaches p is the number L, and write
limx→pf(x)=L
if ∀ε>0, there exists a corresponding number δ>0 such that for all x,
0<|x−p|<δ⇒|f(x)−L|<ε
∀ε>0에 대하여 다음을 만족하는 δ>0가 존재한다.
모든 실수 x에 대하여 0<|x−p|<δ⇒|f(x)−L|<ε
보기
1. f(x)=x
∀ε>0에 대하여 δ=12ε이라고 하면
0<|x−p|<δ인 ∀x에 대하여 |f(x)−p|<δ<ε이다.
∴limx→px=p
2. f(x)=x2
∀ε>0에 대하여 x가 p에 충분히 가깝다면 |x−p|<1이라고 할 수 있다.
그러면 |x|≤|p|+1이므로 |x+p|≤|x|+|p|≤2|p|+1이다.
이제 δ=min(1,ε2|p|+1)이라고 하자.(단, min(x,y)는 x,y 가운데 크지 않은 것)
0<|x−p|<δ인 ∀x에 대하여1) 1≤ε2|p|+1이라고 하면 2|p|+1≤ε이므로
|f(x)−p2|=|x2−p2|=|x−p||x+p|<|x−p|(2|p|+1)<2|p|+1≤ε이다.
2) ε2|p|+1<1이라고 하면
|f(x)−p2|=|x2−p2|=|x−p||x+p|<|x−p|(2|p|+1)<ε이다.
∴limx→px2=p2
함수의 그래프가 아래와 같다면 x=p인 점에서 아무리 작게 δ를 잡아도 정의를 만족할 수 없다. 이런 경우 발산한다고 한다.
하지만 f(x)=sin1x은 직관적으로 극한을 알기 어렵다. 그래프는 아래와 같다.
먼저 x축과 만나는 점을 찾아 보자.
sin1x=0에서 1x=±nπ이다.
∴x=±1nπ
y=1이라고 하면 sin1x=1에서 1x=2nπ+π2이다.
∴x=2(4n+1)π
y=−1이라고 하면 sin1x=−1에서 1x=2nπ+3π2이다.
∴x=2(4n+3)π
단, n∈Z이다.
x=0에서 함숫값을 정의할 수 없고, x=0 가까운 곳에서는 아주 빠르게 진동하고 있다. 이런 함수의 극한은 아래와 같은 정리를 써서 극한을 알아 볼 수 있다.
정리 limx→pf(x)=L이라면 p로 수렴하는 모든 수열 {xn}에 대하여 수열 {f(xn)}은 모두 L로 수렴한다.
즉, ∀xn→p⇒f(xn)→L이다. 역도 성립한다.
위에 주어진 함수에서 xn=2(4n+1)π(n∈N)이라고 하면 n→∞일 때, xn→0이고 f(xn)→1이다.
한편, xn=2(4n+3)π(n∈N)이라고 하면 n→∞일 때, xn→0이고 f(xn)→−1이다.
∴x→0일 때, f(x)=sin1x은 발산한다.
함수 f(x)에서 x=a에서 함수값과 극한값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 x=a에서 연속이라고 한다.
아래를 모두 만족하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다.
1) x=a에서 정의되어 있고
2) limx→af(x)가 존재하며
3) limx→af(x)=f(a)이다.
간단하게 적으면 limx→af(x)=f(a)이다.
문제. 함수 f(x)={x2−1x−1(x≠1)1(x=1)은 x=1에서 연속인가?
교육과정을 벗어난 내용이지만 생각해 봅시다.
심화. 함수f(x)={0x∈Q1x∈R−Q은 x=0에서 연속인가?
풀이) x가 유리수 값만을 가지면서 0에 한없이 가까워지는 경우 f(x)→0이고 x가 무리수 값만을 가지면서 0에 한없이 가까워지는 경우 f(x)→1이므로 극한값이 존재하지 않는다.
마찬가지로 생각해보면 이 함수는 모든 실수에서 불연속인 함수이다.
심화. 함수 f(x)={xx∈Qx0∈R−Q은 x=0에서 연속인가?
풀이) ∀ε>0에 대하여 δ=ε이라고 하자.
0<|x−0|<δ인 유리수에 대하여 |f(x)−f(0)|=|x|<ε이다.
0<|x−0|<δ인 무리수에 대하여도 |f(x)−f(0)|=0<ε이다.
따라서,0<|x−0|<δ인 모든 실수 x에 대하여 |f(x)−f(0)|=|x|<ε이다.
정의에 따라
∴limx→0f(x)=0=f(0)
이다. 이 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다.
다른 실수에 대하여는 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 x=0에서만 연속이다.
두 실수 a,b 에 대하여 다음 실수의 부분집합 {x|a<x<b},{x|a≤x<b},{x|a<x≤b}, {x|a≤x≤b}을 구간이라고 한다. 각각을 (a,b),;[a,b),;(a,b],;[a,b] 로 나타낸다.
특히, (a,b)는 열린구간(open interval) [a,b]는 닫힌구간(closed interval)이라고 한다. {x∣a<x}도 구간이라고하며 (a,∞)로 나타낸다. 마찬가지로 {x|x<b}는 (-∞,b)와 같이 나타낸다.
실수전체의 집합 R도 구간으로 보고, (-∞,∞)로 나타낸다. 함수 f(x)가 그 정의역에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, 연속함수라고 한다.
예) 함수f(x)=1x에서 x=0불연속이지만 x=0은 정의역에 속하지 않는다. 정의역 (-∞,0)∪(0,∞)의 모든 점에서 연속이므로 연속함수이다.
또, 함수f(x)가 열린구간 (a,b)의 모든 점에서 연속일 때, f(x)는 열린구간에서 연속이라고 한다.
함수 f(x)가 열린구간에서 연속이고, limx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b)이면 함수는 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 한다.
1) 최대, 최소 정리
함수f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면, 이 함수는 닫힌구간 [a,b]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.
2) 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)
함수f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)¬=f(b)일 때, f(a)와 f(b)사이에 있는 임의의 값 y0에 대하여 f(c)=y0인 실수 c가 a와 b사이에 반드시 적어도 하나 존재한다.
Maximum and Minimum Theorem
Let I=[a,b] be a closed bounded interval and let f:I→R be continuous on I. Then f has an absolute maximun and an absolute minimum on I
proof
f(I)={f(x)|x∈I}라고 가정하면 집합 f(I)는 공집합이 아니고 유계(bounded)이다.
따라서 최소상계(supremum)와 최대상계(infimum)가 존재한다.
s∗=supf(I),s∗=inff(I)라고 하자.
s∗−1n<f(xn)≤s∗∀n∈N를 만족하는 xn∈I가 존재한다.
I가 유계이므로 X=(xn)도 유계이다. 그러므로 어떤 실수 x∗로 수렴하는 X의 부분수열 X′=(xnr)이 존재한다. I가 닫힌 구간이므로 x∗∈I이다.
f가 x=x∗에서 연속이므로 lim(f(xnr))=f(x∗)이다.
s∗−1nr<f(xnr)≤s∗∀r∈N
lim(f(xnr))=s∗
∴f(x∗)=lim(f(xnr))=s∗=supf(I)
그러므로 f는 x=x∗일 때 최댓값 f(x∗)을 가진다.
최솟값도 마찬가지로 증명할 수 있다.
문제. 구간 [0,π]에서 방정식 x-cosx=0의 근이 존재하는 열린구간을 (a,b)라 할 때, |b−a|≤π12를 만족하는 상수 a,b를 구하고 그 이유를 설명하여라.
풀이) 그래프는 다음과 같다.
방정식의 근은 (0,π2]구간에 있으며f(x)=x-cosx라 할 때,
f(π6)=π6−√32<0,f(π4)=π4−√22>0
이고 f(x)는 연속함수이므로 사잇값 정리에 의하여 f(c)=0이 되는 c가 열린구간 (π6,π4)에 적어도 하나 있다.
문제 n∈N일 때, 1nn∑n=1|x−1n|=12를 만족하는 x가 구간 [0,1]에 존재함을 보여라.
사잇값 정리를 증명하기 위해서는 먼저 아래에 있는 근의 존재 정리를 증명해야 한다.
Location of Roots Theorem Let I be an interval and let f:I→R be contiuous on I. If α<β are number in I such that f(α)<0<f(β)(or such that f(β)<0<f(α), then there exists a number c∈(α,β) such that f(c)=0.
proof
I1=[α,β],γ=12(α+β)이라고 하자.
만약 f(γ)=0이면 c=γ이므로 증명끝이다.
이제 f(γ)>0이면 α2=α,β2=γ로 f(γ)<0이면 α2=γ,β2=β로 놓고 I2=[α2,β2]하자.
f(α2)<0,f(β2)>0이므로 같은 방법으로 구간을 둘로 나누어 나간다.
f(αk)<0,f(βk)>0를 만족하는 구간 I1,I2,⋯,Ik=[αk,βk]를 생각하자.
γk=12(αk+βk)로 하자.
f(γk)=0이라면 증명끝이고 그렇지 않다면 위와 같은 방법으로 Ik+1=[αk+1,βk+1]을 잡는다.
f(γn)=0인 γn을 찾는다면 증명끝이다.
모든 자연수 n에 대하여 In=[αn,βn]에 속하는 c가 있다면
f(αn)<0,f(βn)>0이고
αn<c<βn이므로 0≤c−αn≤βn−αn, 0≤βn−c≤βn−αn 이다.
βn−αn≤12n−1(β−α)이므로
c=limαn=limβn이고 f가 x=c에서 연속이므로
limf(αn)=f(c)=limf(βn)이다.
한편 limf(αn)≤0,flim(βn)≥0이므로
∴f(c)=0 Q.E.D
g(x)=f(x)−y0로 놓으면 위 정리에 따라서 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)를 증명할 수 있다.
1) 연속 확장 가능
x=1에서 정의되어 있지 않은 함수 f(x)=x2−1x−1은 limx→1f(x)의 극한값이 존재한다.
따라서, f(1)=limx→1f(x)로 정의하면 x=1에서 연속이 된다. 이런 함수를 x=1에서 연속확장 가능한 함수라고 한다.
함수 f(x)=xsin1x는 x=0에서 확장가능하다.
2) 연속 확장 불가능 f(x)=sin1x은 x=0에서 확장 불가능하다.
Definition A line y=b is a horizontal asymptote of the graph of the graph of a funtion y=f(x) if either
limx→∞f(x)=borlimx→−∞f(x)=b
분자의 차수가 분모의 차수보다 1 크다면 비스듬한 점근선(Oblique Asymptote)을 가진다.
f(x)=x2−32x−4
먼저 몫과 나머지를 구한다.
f(x)=x2−32x−4=(x2+1)⏟linearg(x)+(12x−4)⏟remainder
x→±∞일 때, f(x)와 g(x) 사이의 수직 거리는 0에 한없이 가까워진다.
따라서 직선 g(x)가 점근선이다.
Definitions
1. We say that f(x) approaches infinity as x approaches x0, and write
limx→x0f(x)=∞
if for every positive real number B there exists a corresponding δ>0 such that for all x
0<|x−x0|<δ⇒f(x)>B
2. We say that f(x) approaches minus infinity as x approaches x0, and write
limx→x0f(x)=−∞
if for every negative real number −B there exists a corresponding δ>0 such that for all x
0<|x−x0|<δ⇒f(x)<−B
Definition A line x=a is a vertical asypmtote of the graph of the graph of a function y=f(x) if eitherlimx→a+f(x)=±∞orlimx→a−f(x)=±∞
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