4. Application of Derivatives

도함수로부터 최댓값과 최솟값을 구함으로써 주어진 조건에 가장 알맞은 값을 구하는 최적화(Optimization) 문제를 해결할 수 있다. 도함수와 미분계수로부터 함수의 증가와 감소를 알고 곡선의 변곡점도 구할 수 있다. 몇 가지 용어를 정의하고 중요한 정리를 증명해 둔다.

Definition If $f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)\geq f(c)\quad \forall x \in \mathbb{D}$, then $f$ has an absolute maximum value on $\mathbb{D}$ at a point c.

 If $f(x)\leq f(c)\quad \forall x \in \mathbb{D}$, then $f$ has an absolute minimum value on $\mathbb{D}$ at a point c.

Maximum and minimum values are called extreme values of the function $f$. Absolute maxima and minima are also referred to as global maxima and minima.

극값(extreme values )은 뒤에 정의하는 극댓값과 극솟값(Local Maximum and minimum)까지 아울러 부르는 말이다. 절대(Absolute)라는 꾸밈말이 없더라도 Maximum과 Minimum은 최대와 최소로 생각하는 것이 옳다. 그러므로 극대와 극소일 때는 반드시 국소(Local)를 같이 적는 것이 옳다고 생각한다.

Theorem If $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ is countinuous, then f attains both an absolute maximum value M and absolute minimum value m in $[a,b]$. 

이 정리의 증명은 공리(Supremum Axiom or Least Upper Bound Property)를 필요로 하므로 해석학 시간으로 미룬다.

궁금해서 증명을 보고 싶다면 여길 누름

$f(I)=\{f(x) | x \in I\}$라고 가정하면 집합 $f(I)$는 공집합이 아니고 유계(bounded)이다.

따라서 최소상계(supremum)와 최대상계(infimum)가 존재한다.

$s^* =sup\; f(I),\quad s_* =inf\; f(I)$라고 하자.

$$s^* -\frac{1}{n}< f(x_n) \leq s^*\quad \forall n \in \mathbb{N}$$를 만족하는 $x_n \in I$가 존재한다.

$I$가 유계이므로 $X=(x_n)$도 유계이다. 그러므로 어떤 실수 $x^*$로 수렴하는 $X$의 부분수열 $X \prime=(x_{n_r})$이 존재한다. $I$가 닫힌 구간이므로 $x^* \in I$이다.

$f$가 $x=x^*$에서 연속이므로 $\lim(f(x_{n_r}))=f(x^*)$이다.

$$s^* -\frac{1}{n_{r}}< f(x_{n_r}) \leq s^*\quad \forall r \in \mathbb{N}$$

$$\lim( f(x_{n_r})) =s^*$$

$$\therefore \quad f(x^*)=\lim( f(x_{n_r})) =s^* =sup f(I)$$

그러므로 $f$는 $x=x^*$일 때 최댓값 $f(x^*)$을 가진다.

최솟값도 마찬가지로 증명할 수 있다. 

$m\leq f(x) \leq M$이므로 닫힌구간에서 정의된 연속함수는 치역도 닫힌구간임을 알 수 있다.

Definition If $f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)\geq f(c)\quad \forall x $ in some open interval containing $c$, then $f$ has an local maximum value at a point c.

 If $f(x)\leq f(c)\quad \forall x $ in some open interval containing $c$, then $f$ has an local minimum value at a point c.

Definition An interior point of the domain of a function $f$ where $f\prime$ is $0$ or undefined is a critical point of f.

$f\prime$이 $0$이거나 정의되지 않는 함수 $f$의 정의역의 내점은 임계점(critical point)이다.

닫힌구간 $[a,b]$에서 최댓값과 최솟값을 찾는 방법

1. 모든 임계점과 양 끝점에서 함숫값을 계산한다.

2. 1에서 나온 값 가운데 가장 큰 것과 작은 것을 고른다.

수업시간에 판서한 사진을 올려둔다.

 

Theorem $L'H\hat{o}pital's$ Law

Suppose that $f(a)=g(a)=0$, that $f$ and $g$ are differentiable on an open interval $I$ containing $a$, and that $g^{\prime}(x)\not=0$ on $I$ if $x\not=a$.

Then

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$

assuming that the limit on the right side of this equation exists.

증명) 먼저 $x\rightarrow a^+$일 때를 증명하자.

$x>a$라고 하자. $f,g$는 $[a,x]$에서 연속이고 $(a,x)$에서 미분가능하므로 코시의 평균값 정리에 의하여

$$\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$$

를 만족하는 $c \in(a,x)$가 존재한다. $f(a)=g(a)=0$이므로

$$\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$

이다. 한편 $x\rightarrow a^+$일 때, $c\rightarrow a^+$이므로

$$\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{c\rightarrow a^+}\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$

마찬가지 방법으로  $x\rightarrow a^-$일 때를 증명할 수 있다.