무한급수

무한급수(infinity series)의 값은 부분합의 극한값으로 정의된다.

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$$

무한급수의 값은 덧셈을 무한히 하는 것이 아니라 부분합으로 이루어진 수열 `S_n`의 극한값이라는 것을 꼭 알아두어야겠다. 잘못하면 아래 이야기와 같이 생각할 수도 있기 때문이다.

`1+(-1)+1+(-1)+ \cdots+(-1)^{n-1} + \cdots` 

다시 말하면 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}$$은 얼마인가라는 물음에 어떤 사람은 `{1+(-1)}+{1+(-1)}+ \cdots+(-1)^{n-1} + \cdots =0+0+\cdots=0`이라고 하고 `1+{(-1)+1}+{(-1)+1}+\cdots=1+0+0+\cdots=1`이라고 말했다.

또 한 사람은 `0`과 `1`의 평균인 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이라고 말했다.

정의를 알고 있는 사람에겐 조금 바보스러워 보이는 저 말을 한 사람이 뛰어난 수학자였다는 것을 알면 조금 놀랄 수도 있겠다.

나눗셈으로 만든 급수 $$\frac{1}{x+1}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$에서 `x=1`일 때 값을 구할 때, 오른쪽 변에 나타나는 무한급수의 값을 1703년 그랜디(Grandi: 1671~1742)는 `0`이라고 말했으며 이를 듣고 라이프니츠(Leibniz:1646~1716)는 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이라고 말했다고 한다.