2017학년도 수능 29번. 30번

29번. 

한 모서리의 길이가 4인 정사면체 ABCD에서 삼각형 ABC의 무게중심을 O, 선분 AD의 중점을 P라 하자. 정사면체 ABCD의 한 면 BCD 위의 점 Q에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{OQ}$와 $\overrightarrow{OP}$가 서로 수직일 때, $|\overrightarrow{PQ}|$의 최댓값은 $\displaystyle{\frac{q}{p}}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.(단, $p,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

 

 

3차원 공간벡터 문제이다. 그러므로 임의의 벡터를 일차결합으로 표현하려면 서로 평행하지 않은 3개의 기본벡터(basis)가 필요하다. 직육면체 문제라면 기본단위벡터로 간단하게 해결할 수 있지만 정사면체이므로 계산이 쉽지 않다. 따라서 정사면체 세 변을 각각 $\overrightarrow{BA}=\vec {a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec {b}$, $\overrightarrow{BD}=\vec {c}$라고 하자. 이제 이 벡터로 문제에 주어진 벡터를 나타내 보자.

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=-\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$$

$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BQ}=-\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})+(m\vec{b}+n\vec{c})=-\frac{1}{3}\vec{a}+\bigg(m-\frac{1}{3}\bigg)\vec{b}+n\vec{c}$$

$\overrightarrow{OP}\bot \cdot \overrightarrow{OQ}$이므로 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$

$$\displaystyle{\bigg(\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\bigg)\cdot \bigg(-\frac{1}{3}\vec{a}+\bigg(m-\frac{1}{3}\bigg)\vec{b}+n\vec{c}\bigg)=0}\ㅅtag{1}$$

한편 세 벡터는 모두 크기가 4이고 세 벡터가 서로 이루는 각은 모두 $\pi/3$이므로

$$\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{b}\cdot \vec{b}=\vec{c}\cdot \vec{c}=16, \quad \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=8$$

(1)의 양변에 18을 곱하면

$$\bigg(\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}\bigg)\cdot \bigg(-\vec{a}+(3m-1)\vec{b}+3n\vec{c}\bigg)=0$$

이를 정리하면

$$-16+8(3m-1)+24n+16-32(3m-1)-48n-24+24(3m-1)+9\cdot16n=0$$

$$(3m-1)+3n-4(3m-1)-6n-3+3(3m-1)+18n=0$$

$$15n-3=0$$

$$\therefore n=\frac{1}{5},\;\;0\leq m \leq \frac{4}{5}\;\;(\because Q \in \triangle BCD)$$

점 Q의 자취는 선분 BD를 $1:4$로 내분하는 점을 지나고 선분 BC와 평행인 직선이다. 

$$|\overrightarrow{PQ}|^2=|\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}|^2=\bigg(-\frac{1}{2}\vec{a}+m\vec{b}-\frac{3}{10}\vec{c}\bigg)^2$$

직관적으로 $|\overrightarrow{PQ}|$는 $m=0, \displaystyle{m=\frac{4}{5}}$일 때 최댓값을 가진다.

$m=0$일 때 계산하면 

$$|\overrightarrow{OQ}|^2=\bigg(-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{3}{10}\vec{c}\bigg)^2=\frac{1}{4}|\vec{a}|^2 +\frac{9}{100}|\vec{b}|^2 +\frac{3}{10} \vec{a}\cdot\vec{b}=4+\frac{36}{25}+\frac{12}{5}=\frac{196}{25}$$

$$|\overrightarrow{OQ}|=\frac{14}{5}$$

30번

$x>a$에서 정의된 함수 $f(x)$가 최고차항의 계수가 $-1$인 사차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a$는 상수이다.)

(가) $x>a$인 모든 실수 $x$에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$이다.

(나) 서로 다른 두 실수 $\alpha,\beta$에 대하여 함수 $f(x)$는 $x=\alpha$와 $x=\beta$에서 동일한 극댓값 $M$을 갖는다. (단, $M>0$ )

(다) 함수 $f(x)$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 개수는 함수 $g(x)$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 개수보다 많다.

$\beta-\alpha=6\sqrt3$일 때, $M$의 최솟값을 구하시오. [4점]

풀이

가)에서 $\displaystyle{f(x)=\frac{g(x)}{x-a}}$이므로 $g(a)\not=0$이면 함수 $f(x)$는 분수함수이다. 따라서 함수 $f(x)$는 $x>a$에서 연속이고 미분가능하다.

$$\displaystyle{f(x)-M=\frac{h(x)}{x-a},\;\; h(x)=g(x)-M(x-a)}\tag{2}$$  

라고 하면 함수 $h(x)$도 최고차항 계수가 $-1$인 사차함수이다. (나)에서 주어진 $\alpha,\beta$에 대하여 정리하면 

$$f(\alpha)-M=0=\frac{h(\alpha)}{x-a},\;\;f(\beta)-M=0=\frac{h(\beta)}{x-a}$$

$$\therefore h(\alpha)=h(\beta)=0\;\;\;\;(\because a<\alpha<\beta)$$

(2)를 미분하면 아래와 같다.

$$f^\prime(x)=\frac{h^\prime(x)(x-a)-h(x)}{(x-a)^2}$$

함수 $f(x)$는 $x=\alpha$와 $x=\beta$에서 극댓값을 가지므로 $f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$이다.

$$f^\prime(\alpha)=0=\frac{h^\prime(\alpha)(\alpha-a)-h(\alpha)}{(\alpha-a)^2}$$이고 위에서 $h(\alpha)=0$이므로 $h^\prime(\alpha)=0$

이다. 마찬가지로 $h^\prime(\beta)=0$이다. 정리하면 $$h(\alpha)=h(\beta)=h^\prime(\alpha)=h^\prime(\beta)=0$$이다. 함수 $h(x)$는 사차함수이고 최고차항 계수가 $-1$이므로 $$h(x)=-(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2,\;\;h^\prime(x)=-4(x-\alpha)(x-\beta)\bigg(x-\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)$$

함수 $f(x)$는 극대가 되는 $x$가 둘이므로 극소가 되는 점도 반드시 가진다. (다)에서 함수 $g(x)$는 극대 또는 극소가 되는 점이 2이하임을 알 수 있다. 

$h(x)=g(x)-M(x-a)$에서 $h^\prime(x)=g^\prime(x)-M$임을 얻는다. 

$$0=g^\prime(x)=h^\prime(x)+M$$의 근이 2이하라야 한다. 정리하면

$$M=4(x-\alpha)(x-\beta)\bigg(x-\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)$$

$\alpha=0$으로 하여도 일반성을 잃지 않는다. 주어진 조건에서 $\alpha=0, \beta=6\sqrt3$으로 다시 정리하자.

$$M=4x(x-6\sqrt3)(x-3\sqrt3)$$의 근이 2이하가 되도록 하는 $M$의 범위를 찾아보자.

$$k(x)=4x(x-6\sqrt3)(x-3\sqrt3)$$

$$k^\prime(x)=4(3x^2-18\sqrt3 x+18\cdot 3)=12(x-3\sqrt3 -3)(x-3\sqrt3+3)=0$$이므로 $x=3\sqrt3-3$에서 극댓값 $k(3\sqrt3-3)=216$을 가진다. 그러므로 $216\leq M$이다.

2017_수능풀이.pdf