증명은 어려워

힐베르트 공리 20개를 빼고 나머지는 모두 정리이므로 증명해야 한다. 기하를 공부할 때 증명을 어디까지 해야할까 정하는 것이 매우 어렵다. 매번 삼각형 세 내각을 더하면 $180^o$임을 증명하는 것은 무의미하다. 따라서 몇몇 간단한 정리는 마치 공리처럼 증명하지 않고 참으로 받아들인다. 그러나 아무리 간단한 정리라도 한 번은 꼭 증명을 해 보아야 한다. 피타고라스 정리처럼 엄청나게 자주 사용하는 정리를 증명하라고 했을 때 당황하는 학생을 자주 만난다. 기하학에서 증명은 어렵지만 결코 피해갈 수 없는 것이다. 기하학을 단숨에 잘하게 만드는 뾰족한 수는 없다. 오죽하면 왕도가 없다고 했을까?

정리 한 직선에 평행한 두 직선은 서로 평행하다. $$l//m, l//n \Rightarrow n//m$$

세 직선이 모두 같은 평면에 있다면 평행선 공리에 따라 아주 쉽게 보일 수 있다. 중학교 1학년 때 증명했을 것이다. 이제 고등학생은 공간에서도 이 정리가 성립함을 보일 수 있어야 한다. 공간에서 세 직선이 모두 같은 평면에 있지 않은 경우를 보여야 한다. 어떻게 하면 될까? 공간에서 세 직선이 이루는 위치 관계는 셋이 있다. '만난다', '평행하다', '꼬인위치에 있다'가 그것이다. 만나거나 평행인 두 직선은 같은 평면에 있다.

두 직선 $l,m$이 결정하는 평면을 $\alpha$, 두 직선 $l,n$이 결정하는 평면을 $\beta$라고 하자.

1) 두 직선 $m,n$이 한 점 $P$에서 서로 만난다고 하면 점 $P$는 두 평면 $\alpha, \beta$에 있으므로 교선인 직선 $l$ 위에 있어야 한다.  이것은 가정에 모순이다.

2) 두 직선 $m,n$이 꼬인위치에 있다고 하면 직선 $m$을 품고 직선 $n$ 위의 한 점을 지나는 평면이 존재한다. 이 평면을 $\gamma$라고 하면 이 평면은 $\beta$와 교선이 있다. 이 교선은 직선 $n$과 한 점에서 만나므로 직선 $l$과도 한 점에서 만난다. 이것은 직선 $m$과 $l$ 위의 점을 지나는 평면이 둘이 있게 되므로 모순이다.

그러므로 두 직선 $m,n$은 서로 평행하다.

이처럼 아주 간단한 정리도 막상 증명하려고 나서면 쉽지 않다. 다음 정리를 증명해 보자.

정리 주어진 평면 $\alpha$ 위에 있지 않는 한 점 $P$를 지나는 두 직선 $l,m$이 모두 평면 $\alpha$에 평행하다면 두 직선 $l,m$이 결정하는 평면 $\beta$는 주어진 평면 $\alpha$와 평행하다.

귀류법으로 증명하자.

두 평면이 평행하지 않고 교선 $n$을 공유한다고 하자.

이때 직선 $n$은 평면 $\alpha$ 위에 있고 $\alpha //l, \alpha//m$이므로 두 직선 $l,m$과 만나지 않는다.

직선 $n$은 평면 $\beta$에 있으므로 $l//n, m//n$이다.  이것은 $l//m$이어야 하므로 가정에 모순이다. 

그러므로 $\alpha//\beta$이다.

 

정리 서로 다른 세 평면 $\alpha,\beta,\gamma$에 대하여

$$\alpha//\beta, \beta//\gamma \Rightarrow \alpha//\gamma$$