이면각

두 직선이 이루는 각

한 점에서 만나는 두 직선은 한 평면을 결정하므로 그 평면에서 두 직선이 이루는 각을 정할 수 있다. 한편 꼬인 위치에 있는 두 직선 $l,m$은 한 직선 $l$을 다른 직선 $m$과 한 점에서 만나도록 평행이동한 직선 $l^{\prime}$이 직선 $m$과 이루는 각 가운데 크지 않은 각을 두 직선 $l,m$이 이루는 각으로 정한다.

그림과 같은 정사면체 $ABCD$에서 모서리 $AC$와 $AD$의 중점을 각각 $M$,$N$이라고 할 때, 두 직선 $BM$과 $CN$이 이루는 각을 $\theta$라고 하자. $\cos\theta$의 값을 구하여라.

 

이면각

직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha,\beta$로 이루어진 도형이 이면각(dihedral angle)이다. 이때 직선  $l$을 이면각의 변, 두 반평면  $\alpha,\beta$을 이면각의 면 이라고 한다. 또 이면각의 변 $l$ 위의 한 점 $O$를 지나고 직선 $l$에 수직인 반직선 $OA,OB$를 각각 반평면  $\alpha,\beta$에 그을 때 $\angle AOB$는 점 $O$의 위치에 관계없이 일정하다. 이 각의 크기가 이면각의 크기 이다.

 

서로 다른 두 평면이  만나면 이면각이 넷이 생기는데 이 가운데 크지 않은 이면각의 크기를 두 평면이 이루는 각의 크기라고 한다. 특이 모든 이면각의 크기가 같을 때 두 평면은 서로 수직이라고 하고 기호로 $\alpha \bot \beta$로 적는다. 

정사면체의 이웃하는 두 면이 이루는 이면각의 크기 $\theta$라고 할 때 $\cos\theta$를 구하여라.

$$\cos\theta=\frac{\big(\frac{\sqrt3}{2}a\big)^2 +\big(\frac{\sqrt3}{2}a\big)^2 -a^2}{2\cdot \big(\frac{\sqrt3}{2}a\big)^2}=\frac{1}{3}$$

아래와 같이 정사면체를 깎아서 정팔면체를 만들 수 있으므로 정팔면체 이면각도 크기를 쉽게 구할 수 있다.

다른 정다면체의 이면각의 크기도 구해보자.

문제 위 그림에서 꼭짓점 $A$에서 선분 $DM$에 내린 수선의 발을 $H$라고 할 때,

1) $\overline{AH}\bot$ 평면 $BCD$임을 보여라.

2) 점 $H$는 삼각형 $BCD$의 무게중심임을 보여라.