꼬인위치에 있는 두 직선 사이 거리

평행하지 않은 두 공간벡터 $\vec{u_1},\vec{u_2}$와 서로 다른 두 점 $P_1 ,P_2$에 대하여 두 직선이 다음과 같이 주어져 있다.

$$g_1 :\overrightarrow{OP_1}+t\vec{u_1}, \;\;g_2:\overrightarrow{OP_2}+t\vec{u_2}$$

이 때 두 직선사이의 거리는

$$\frac{|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\vec{u_1}\times\vec{u_2})|}{|\vec{u_1}\times\vec{u_2}|}$$ 

임을 보여라.

아래 그림과 같이 두 직선은 각각 점 $P_1 ,P_2$를 지나고 방향벡터가 $\vec{u_1},\vec{u_2}$인 직선이다. 두 직선 사이 거리는 두 직선 위의 점을 잇는 선분 길이의 최솟값이다.

두 직선과 만나고 두 직선과 모두 수직인 직선을 $l$이라 하자. 이 때 두 직선 사이 거리는 두 점 $P_1 ,P_2$의 직선 $l$ 위로의 정사영 $P^{\prime}_1 ,P^{\prime}_2$ 사이의 거리이다.

직선 $P^{\prime}_1 P^{\prime}_2$는 $\vec{u_1}\times\vec{u_2}$를 방향벡터로 가진다.

그러므로 $$\overrightarrow{P^{\prime}_1 P^{\prime}_2}=proj_{\vec{u_1}\times\vec{u_2}}\overrightarrow{P_1P_2}$$이다.