$\int \sqrt{1+x^2}dx$ 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)
수학이야기/Calculus 2018. 5. 2. 10:55치환적분은 여러 가지 어려운 문제를 해결해 준다. 그 가운데 삼각치환은 멋지다. 삼각치환을 넘어 쌍곡치환까지 정리해 둔다.
간단한 꼴이지만 풀려고 나서면 쉽지는 않다. 먼저 삼각치환을 써보자.
정리하면
결국 $I=\int \sec^3 \theta d\theta$의 부정적분을 찾아야 한다.
부분적분을 쓰자.
위에서 치환했던 변수를 되돌려 놓자.
이므로 $\sec \theta>0$이라고 한다면
이다. 생각보다 복잡하다.
참고로 $\int \sec^3 x dx$를 구하는 또 다른 방법도 있다.
다른 쉬운 방법은 없을까? 뜬금없어 보이지만
이므로
$2x=e^t -e^{-t}\quad e^{2t}-2x e^t -1=0$에서 $e^t =x+\sqrt{1+x^2}$이므로 $t=\ln|x+\sqrt{1+x^2}|$이다.
또한, $\displaystyle{x^2 +1= \frac{1}{4}(e^t +e^{-t})^2}$이므로 $\displaystyle{\frac{1}{2}(e^t+e^{-t})=\sqrt{1+x^2}}$이다.
다시 정리하면 삼각치환으로 했을 때와 같다. 지수함수를 적분하는 일이 매우 쉽기때문에 두 번째 치환이 훨씬 편하다. 이렇게 적분을 쉽게 해주는 치환을 생각하기 위해 아래와 같이 새로운 함수를 정의한다.
이 함수가 쌍곡 함수인데 삼각함수와 매우 닮아서 이름도 비슷하게 붙였다. '하이퍼블릭 사인', '하이퍼볼릭 코사인'으로 읽는다. '신치 (/ˈsɪŋ, ˈsɪntʃ, ˈʃaɪn/) '와 '코시 (/ˈkɒʃ, ˈkoʊʃ/)'로 읽기도 한다. 하이퍼볼릭 우리말로 쌍곡선 $x^2 -y^2 =1$을 매개화한 것으로 생각하면 된다. 그림을 참고하자.
쌍곡선 $x^2 -y^2 =1$과 $x$축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 붉은색 영역 넓이가 $a/2$일 때, 직선과 쌍곡선이 만나는 점을 $(\cosh a, \sinh a)$로 정의한다. 이것은 원 $x^2+y^2 =1$과 $x$축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 부채꼴 넓이가 $\theta/2$일 때 직선과 원이 만나는 점을 $(\cos\theta, \sin\theta)$로 정의하는 것과 같다. 더 자세하게 알고 싶다면 아래 연결고리를 열어 보자.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function