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$\int \sqrt{1+x^2}dx$ 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)::::수학과 사는 이야기

$\int \sqrt{1+x^2}dx$ 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)

수학이야기/Calculus 2018. 5. 2. 10:55
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치환적분은 여러 가지 어려운 문제를 해결해 준다. 그 가운데 삼각치환은 멋지다. 삼각치환을 넘어 쌍곡치환까지 정리해 둔다. 

1+x2dx

간단한 꼴이지만 풀려고 나서면 쉽지는 않다. 먼저 삼각치환을 써보자.

x=tanθdx=sec2θdθ

정리하면

1+tan2θsec2θdθ=sec3θdθ

결국 $I=\int \sec^3 \theta d\theta$의 부정적분을 찾아야 한다.

I=secθsec2θdθ=secθd(tanθ)dθdθ

부분적분을 쓰자.

=secθtanθsecθtan2θdθ=secθtanθsecθ(sec2θ1)dθ=secθtanθsec3θdθ+secθdθ2I=secθtanθ+secθ(secθ+tanθ)secθ+tanθdθI=12secθtanθ+12ln|secθ+tanθ|+C

위에서 치환했던 변수를 되돌려 놓자.

tanθ=x,secθ=±1+tan2θ=1+x2

이므로 $\sec \theta>0$이라고 한다면

1+x2dx=12x1+x2+12ln|1+x2+x|+C

이다. 생각보다 복잡하다.

참고로 $\int \sec^3 x dx$를 구하는 또 다른 방법도 있다.

sec3xdx=dxcos3x=cosxdxcos4x=cosxdx(1sin2x)2=du(1u2)2

u=sinx,du=cosxdx

1(1u2)2=1/41u+1/4(1u)2+1/41+u+1/4(1+u)2

=14ln(1u)+1/41u+14ln(1+u)1/41+u+C

=14ln1+u1u+12u1u2+C

=14ln1+sinx1sinx+12sinxcos2x=14ln1+sinx1sinx+12secxtanx+C

 

다른 쉬운 방법은 없을까? 뜬금없어 보이지만 x=12(etet)로 치환해 보자.

1+x2=1+14(etet)2=14(et+et)2,dx=12(et+et)dt

이므로

1+x2dx=14(et+et)2dt=14(e2t+e2t+2)dt

=14(12e2t12e2t+2t)+C=18(etet)(et+et)+t2+C

$2x=e^t -e^{-t}\quad e^{2t}-2x e^t -1=0$에서 $e^t =x+\sqrt{1+x^2}$이므로 $t=\ln|x+\sqrt{1+x^2}|$이다.

또한, $\displaystyle{x^2 +1= \frac{1}{4}(e^t +e^{-t})^2}$이므로 $\displaystyle{\frac{1}{2}(e^t+e^{-t})=\sqrt{1+x^2}}$이다.

다시 정리하면 삼각치환으로 했을 때와 같다. 지수함수를 적분하는 일이 매우 쉽기때문에 두 번째 치환이 훨씬 편하다. 이렇게 적분을 쉽게 해주는 치환을 생각하기 위해 아래와 같이 새로운 함수를 정의한다.

sinhx=12(exex),coshx=12(ex+ex)

이 함수가 쌍곡 함수인데 삼각함수와 매우 닮아서 이름도 비슷하게 붙였다. '하이퍼블릭 사인', '하이퍼볼릭 코사인'으로 읽는다. '신치 (/ˈsɪŋ, ˈsɪn, ˈʃn/) '와 '코시 (/ˈkɒʃ, ˈkʃ/)'로 읽기도 한다. 하이퍼볼릭 우리말로 쌍곡선 $x^2 -y^2 =1$을 매개화한 것으로 생각하면 된다. 그림을 참고하자.

쌍곡선 $x^2 -y^2 =1$과 $x$축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 붉은색 영역 넓이가 $a/2$일 때, 직선과 쌍곡선이 만나는 점을 $(\cosh a, \sinh a)$로 정의한다. 이것은 원 $x^2+y^2 =1$과 $x$축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 부채꼴 넓이가 $\theta/2$일 때 직선과 원이 만나는 점을 $(\cos\theta, \sin\theta)$로 정의하는 것과 같다. 더 자세하게 알고 싶다면 아래 연결고리를 열어 보자.

hyperbolic_Function.ggb
다운로드

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

 

 

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