Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-1"><span class="MJXp-mo" id="MJXp-Span-2" style="margin-left: 0em; margin-right: 0.111em;">∫</span><span class="MJXp-msqrt" id="MJXp-Span-3"><span class="MJXp-surd"><span class="MJXp-right MJXp-scale10" style="font-size: 166%; margin-top: 0.084em; margin-left: 0em;">√</span></span><span class="MJXp-root"><span class="MJXp-rule" style="border-top: 0.08em solid;"></span><span class="MJXp-box"><span class="MJXp-mn" id="MJXp-Span-4">1</span><span class="MJXp-mo" id="MJXp-Span-5" style="margin-left: 0.267em; margin-right: 0.267em;">+</span><span class="MJXp-msubsup" id="MJXp-Span-6"><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-7" style="margin-right: 0.05em;">x</span><span class="MJXp-mn MJXp-script" id="MJXp-Span-8" style="vertical-align: 0.5em;">2</span></span></span></span></span><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-9">d</span><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-10">x</span></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">\int \sqrt{1+x^2}dx</script> 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)::::수학과 사는 이야기

1+x2dx 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)

수학이야기/Calculus 2018. 5. 2. 10:55
반응형

치환적분은 여러 가지 어려운 문제를 해결해 준다. 그 가운데 삼각치환은 멋지다. 삼각치환을 넘어 쌍곡치환까지 정리해 둔다. 

1+x2dx

간단한 꼴이지만 풀려고 나서면 쉽지는 않다. 먼저 삼각치환을 써보자.

x=tanθdx=sec2θdθ

정리하면

1+tan2θsec2θdθ=sec3θdθ

결국 I=sec3θdθ의 부정적분을 찾아야 한다.

I=secθsec2θdθ=secθd(tanθ)dθdθ

부분적분을 쓰자.

=secθtanθsecθtan2θdθ=secθtanθsecθ(sec2θ1)dθ=secθtanθsec3θdθ+secθdθ2I=secθtanθ+secθ(secθ+tanθ)secθ+tanθdθI=12secθtanθ+12ln|secθ+tanθ|+C

위에서 치환했던 변수를 되돌려 놓자.

tanθ=x,secθ=±1+tan2θ=1+x2

이므로 secθ>0이라고 한다면

1+x2dx=12x1+x2+12ln|1+x2+x|+C

이다. 생각보다 복잡하다.

참고로 sec3xdx를 구하는 또 다른 방법도 있다.

sec3xdx=dxcos3x=cosxdxcos4x=cosxdx(1sin2x)2=du(1u2)2

u=sinx,du=cosxdx

1(1u2)2=1/41u+1/4(1u)2+1/41+u+1/4(1+u)2

=14ln(1u)+1/41u+14ln(1+u)1/41+u+C

=14ln1+u1u+12u1u2+C

=14ln1+sinx1sinx+12sinxcos2x=14ln1+sinx1sinx+12secxtanx+C

 

다른 쉬운 방법은 없을까? 뜬금없어 보이지만 x=12(etet)로 치환해 보자.

1+x2=1+14(etet)2=14(et+et)2,dx=12(et+et)dt

이므로

1+x2dx=14(et+et)2dt=14(e2t+e2t+2)dt

=14(12e2t12e2t+2t)+C=18(etet)(et+et)+t2+C

2x=etete2t2xet1=0에서 et=x+1+x2이므로 t=ln|x+1+x2|이다.

또한, x2+1=14(et+et)2이므로 12(et+et)=1+x2이다.

다시 정리하면 삼각치환으로 했을 때와 같다. 지수함수를 적분하는 일이 매우 쉽기때문에 두 번째 치환이 훨씬 편하다. 이렇게 적분을 쉽게 해주는 치환을 생각하기 위해 아래와 같이 새로운 함수를 정의한다.

sinhx=12(exex),coshx=12(ex+ex)

이 함수가 쌍곡 함수인데 삼각함수와 매우 닮아서 이름도 비슷하게 붙였다. '하이퍼블릭 사인', '하이퍼볼릭 코사인'으로 읽는다. '신치 (/ˈsɪŋ, ˈsɪn, ˈʃn/) '와 '코시 (/ˈkɒʃ, ˈkʃ/)'로 읽기도 한다. 하이퍼볼릭 우리말로 쌍곡선 x2y2=1을 매개화한 것으로 생각하면 된다. 그림을 참고하자.

쌍곡선 x2y2=1x축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 붉은색 영역 넓이가 a/2일 때, 직선과 쌍곡선이 만나는 점을 (cosha,sinha)로 정의한다. 이것은 원 x2+y2=1x축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 부채꼴 넓이가 θ/2일 때 직선과 원이 만나는 점을 (cosθ,sinθ)로 정의하는 것과 같다. 더 자세하게 알고 싶다면 아래 연결고리를 열어 보자.

hyperbolic_Function.ggb
다운로드

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

 

 

반응형

수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!