∫√1+x2dx 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)
수학이야기/Calculus 2018. 5. 2. 10:55치환적분은 여러 가지 어려운 문제를 해결해 준다. 그 가운데 삼각치환은 멋지다. 삼각치환을 넘어 쌍곡치환까지 정리해 둔다.
∫√1+x2dx
간단한 꼴이지만 풀려고 나서면 쉽지는 않다. 먼저 삼각치환을 써보자.
x=tanθdx=sec2θdθ
정리하면
∫√1+tan2θsec2θdθ=∫sec3θdθ
결국 I=∫sec3θdθ의 부정적분을 찾아야 한다.
I=∫secθ⋅sec2θdθ=∫secθd(tanθ)dθdθ
부분적분을 쓰자.
=secθtanθ−∫secθtan2θdθ=secθtanθ−∫secθ(sec2θ−1)dθ=secθtanθ−∫sec3θdθ+∫secθdθ2I=secθtanθ+∫secθ(secθ+tanθ)secθ+tanθdθI=12secθtanθ+12ln|secθ+tanθ|+C
위에서 치환했던 변수를 되돌려 놓자.
tanθ=x,secθ=±√1+tan2θ=√1+x2
이므로 secθ>0이라고 한다면
∫√1+x2dx=12x√1+x2+12ln|√1+x2+x|+C
이다. 생각보다 복잡하다.
참고로 ∫sec3xdx를 구하는 또 다른 방법도 있다.
∫sec3xdx=∫dxcos3x=∫cosxdxcos4x=∫cosxdx(1−sin2x)2=∫du(1−u2)2
u=sinx,du=cosxdx
1(1−u2)2=1/41−u+1/4(1−u)2+1/41+u+1/4(1+u)2
=−14ln(1−u)+1/41−u+14ln(1+u)−1/41+u+C
=14ln1+u1−u+12u1−u2+C
=14ln1+sinx1−sinx+12sinxcos2x=14ln1+sinx1−sinx+12secxtanx+C
다른 쉬운 방법은 없을까? 뜬금없어 보이지만 x=12(et−e−t)로 치환해 보자.
1+x2=1+14(et−e−t)2=14(et+e−t)2,dx=12(et+e−t)dt
이므로
∫√1+x2dx=∫14(et+e−t)2dt=14∫(e2t+e−2t+2)dt
=14(12e2t−12e−2t+2t)+C=18(et−e−t)(et+e−t)+t2+C
2x=et−e−te2t−2xet−1=0에서 et=x+√1+x2이므로 t=ln|x+√1+x2|이다.
또한, x2+1=14(et+e−t)2이므로 12(et+e−t)=√1+x2이다.
다시 정리하면 삼각치환으로 했을 때와 같다. 지수함수를 적분하는 일이 매우 쉽기때문에 두 번째 치환이 훨씬 편하다. 이렇게 적분을 쉽게 해주는 치환을 생각하기 위해 아래와 같이 새로운 함수를 정의한다.
sinhx=12(ex−e−x),coshx=12(ex+e−x)
이 함수가 쌍곡 함수인데 삼각함수와 매우 닮아서 이름도 비슷하게 붙였다. '하이퍼블릭 사인', '하이퍼볼릭 코사인'으로 읽는다. '신치 (/ˈsɪŋ, ˈsɪntʃ, ˈʃaɪn/) '와 '코시 (/ˈkɒʃ, ˈkoʊʃ/)'로 읽기도 한다. 하이퍼볼릭 우리말로 쌍곡선 x2−y2=1을 매개화한 것으로 생각하면 된다. 그림을 참고하자.
쌍곡선 x2−y2=1과 x축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 붉은색 영역 넓이가 a/2일 때, 직선과 쌍곡선이 만나는 점을 (cosha,sinha)로 정의한다. 이것은 원 x2+y2=1과 x축 그리고 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 부채꼴 넓이가 θ/2일 때 직선과 원이 만나는 점을 (cosθ,sinθ)로 정의하는 것과 같다. 더 자세하게 알고 싶다면 아래 연결고리를 열어 보자.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
수학이야기님의
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