RL Circuits

일반 물리학 책에 나오는 저항-인덕턴스 회로를 정리해 보자. 그림과 같은 회로에서 전압은 아래와 같은 미분방정식으로 표현할 수 있음이 알려져 있다. 

$$L\frac{di}{dt}+Ri=V$$

여기서 $R$은 저항, $L$은 인덕턴스에 따라 결정되는 상수이고 $V$는 전압, $i$는 전류를 나타낸다. 저항에 따른 전압은 옴의 법칙에 따라 전류 세기에 비례하고 ($V_R =Ri$) 코일을 감은 인덕턴스에 따른 전압은 패러데이 법칙에 따라 전류 세기의 변화량에 비례한다.($\displaystyle{V_L =L\frac{di}{dt}}$) 자세한 설명은 물리 시간에 배워야 할 듯하다. 

수학 시간엔 주어진 미분방정식을 풀기만 하면 되는데 위 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 적분인자를 찾기 위해 정리하면 다음과 같다.

$$\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{V}{L}$$

$v(t)=e^{\int R/L dt}=e^{Rt/L}$을 양변에 곱하여 정리하자.

$$e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt}+e^{\frac{R}{L}t}\frac{R}{L}i=\frac{V}{L}e^{\frac{R}{L}t}$$

$$\frac{d}{dt}(e^{\frac{R}{L}t} i)=\frac{V}{L}e^{\frac{R}{L}t}$$

$$e^{\frac{R}{L}t} i=\int \frac{V}{L}e^{\frac{R}{L}t}dt$$

$$e^{\frac{R}{L}t} i=\frac{V}{L}\frac{L}{R} e^{\frac{R}{L}t}+C$$

$$e^{\frac{R}{L}t} i=\frac{V}{R} e^{\frac{R}{L}t}+C$$

$t=0$일 때, $i=0$이므로 $C=-V/R$이다. 따라서 전류 $I$는 아래와 같은 곡선이다.

$$i=\frac{V}{R} -\frac{V}{R} e^{-\frac{R}{L}t}=\frac{V}{R} (1-e^{-\frac{R}{L}t})$$

$t\rightarrow \infty$일 때, $i=V/R$인 안정-상태값(steady-state value)을 가진다.