이변수 함수

화학시간에 이상기체 방정식을 배운다.(P:압력 n: 양 V: 부피 R: 상수 T: 온도)

$$PV=nRT$$

기체 부피는 압력과 온도에 영향을 받는다. 이와 같이 자연 현상은 둘 이상의 변수에 의해 결정될 때가 많다. 독립변수가 둘인 함수를 정리해 둔다.

이변수 함수

실수 전체 집합을 $R$이라고 하자. 평면 위에 있는 점은 곱집합 $R\times R$의 원소로 나타낼 수 있다.

$$R^2 = R\times R=\{(x,y)|x\in R,y\in R\}$$

집합 $D\subset R^2$의 원소에 실수 $z$를 대응시키는 함수 $f:D\rightarrow R$를 

$$z=f(x,y),\quad (x,y)\in D$$

로 나타내고 $f$ 또는 $z$를 변수 $x,y$의 이변수 함수라 한다. $D$를 정의역, $Z=\{z|z=f(x,y)\quad (x,y)\in D\}$는 치역이다. $c$가 치역에 있는 상수일 때 $xy$평면에 있는 곡선 $f(x,y)=c$를 등위곡선(level curve)라 한다. 

 

$$G=\{(x,y,f(x,y))|(x,y)\in D\}$$ 는 공간에서 곡면을 나타낸다. 이 곡면을 이변수 함수의 그래프라 하고 간단하게 곡면 $z=f(x,y)$라 한다.

편도함수

변수가 둘인 함수를 미분으로 다루어 보자.

아래 극한이 존재하면 이 값을 점 $(x_0 ,y_0)$에서의 $x$에 대한 편미분계수라고 한다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0 ,y_0 )} =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$

아래는 모두 같은 표현이다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0 ,y_0),\quad f_x (x_0,y_0),\quad \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}$$

$x$에 대한 편미분계수는 변수 $y$를 상수로 생각하여 일변수 함수로 바꾸어 미분계수를 구하는 것이다. 기하로 해석하면 아래 그림과 같이 곡면$z=f(x,y)$과 평면 $y=y_0$이 만나는 곡선 위 점 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$에서 미분계수를 구하는 것이다.

일변수 함수에서와 마찬가지로 편미분계수의 함수를 편도함수라 한다.

$$\frac{\partial f}{\partial x} =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

마찬가지로 $y$에 대한 편미분계수와 편도함수를 정의한다.

$$\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0 ,y_0 )} =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0 +h)-f(x_0,y_0)}{h}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x,y +h)-f(x,y)}{h}$$

 

편도함수를 일반화하여 아래와 같이 방향미분계수를 정의한다.

아래 극한이 존재하면 점 $(x_0,y_0)$에서 단위벡터 $\mathbb{u}=u_1 i +u_2 j$ 방향으로의 방향미분계수라 한다.

$$\bigg(\frac{df}{ds}\bigg)_{\mathbb{u},P_0}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x_0 +s u_1 ,y_0 +su_2)-f(x_0, y_0)}{s}$$