수학과 사는 이야기

서로 외접하는 원이 있을 때 바깥에 있는 원이 안쪽에 있는 원과 접하면서 구른다고 하자. 이 때 바깥 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 에피사이클로이드 곡선이다. 두 원의 반지름을 각각 $R$, $r$이라 하자. 이 곡선은 두 원의 반지름이 이루는 비 $k$ $(R=kr)$에 따라 아래와 같은 모양이 된다. 이제 방정식을 구해보자. $$l_R=R\theta=r\alpha=l_r$$ $$\alpha=\frac{R\theta}{r}$$ 점 $P$의 좌표 $(x(\theta),y(\theta))$는 아래와 같이 매개변수를 써서 나타낼 수 있다. $$x(\theta)= (R+r)\cos\theta-r\cos(\theta+\alpha) = (R+r)\cos\theta-r\cos\bigg(\frac{R+r}{..

미분은 도함수는 구하는 일이다. 도함수는 아래와 같이 정의하였다. $$f ^{\prime} (x) =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 복잡한 함수는 간단한 함수를 연산하거나 합성하여 만들어진다. 이제 정의를 바탕으로 합성함수를 미분해보자. 합성함수의 미분 함수 $y=(1+x^3)^4$는 복잡하다. 이 함수는 두 함수 $f(u)=u^4$, $u=1+x^3$가 합성된 것으로 생각하자. 두 함수 $y=f(u), \;\;u=g(x)$가 모두 미분가능하다고 하자. $ y=f(g(x))$의 도함수는 정의에 따라 아래와 같다. $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta ..