비교 판정 Comparison Test

등비급수나 p-급수처럼 곧바로 수렴과 발산을 판정할 수 있는 무한급수가 있다. 어떤 급수는 쉽게 수렴, 발산을 판정할 수 있는 급수와 비교하여 판정할 수 있다. 두 가지 정리를 증명해 보자.

비교 판정 정리

음이 아닌 항 만을 가진 급수 $\sum a_n , \sum c_n , \sum d_n$이 있다. 어떤 자연수 $N$에 대하여 $n >N$인 모든 자연수 $n$에서 아래가 성립한다고 가정하자.

$$d_n \leq a_n \leq c_n$$

(a) $\sum c_n$이 수렴하면 $\sum a_n$은 수렴한다.

(b) $\sum d_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다.

증명

(a) $\sum a_n$의 부분합은 아래와 같은 수 $M$으로 위로 유계된다.

$$M=a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+ a_N +\sum_{n=N+1}^{\infty} c_n$$

$\sum c_n$이 수렴한다면 $a_n \geq 0$이므로 급수  $\sum a_n$ 부분합 수열은 단조증가이고 위로 유계이므로 $\sum a_n$은 수렴한다.

(b) $\sum d_n$의 부분합은 아래와 같은 수 $M^*$으로 위로 유계된다.

$$M^*=d_1 +d_2 +d_3 +\cdots+ d_N +\sum_{n=N+1}^{\infty} a_n$$

$\sum a_n$이 수렴하면 $\sum d_n$이 수렴한다.

$\blacksquare$

극한 비교 판정 정리 Limit Comparison Test

어떤 자연수 $K$에 대하여 $n >K$인 모든 자연수 $n$에서 $a_n>0, b_n>0$임을 가정하자. 

(a) $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=c>0}$이면 $\sum a_n,\sum b_n$은 모두 수렴하거나 발산한다.

(b) $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=0}$이고 $\sum b_n$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴한다.

(c) $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty}$이고 $\sum b_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다.

증명

(a) 가정에 따라 $c/2>0$이라고 하면 아래를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

$$\forall n >N \quad \Rightarrow \bigg| \frac{a_n}{b_n}-c\bigg|<\frac{c}{2}$$

따라서 $\forall n>max\{K,N\}$

$$-\frac{c}{2}< \frac{a_n}{b_n}-c< \frac{c}{2}$$

$$\frac{c}{2}< \frac{a_n}{b_n}< \frac{3c}{2}$$

$$\bigg(\frac{c}{2}\bigg)b_n< \frac{a_n}{b_n}< \bigg(\frac{3c}{2}\bigg)b_n$$

비교 판정에 따라 $\sum a_n,\sum b_n$은 모두 수렴하거나 발산한다.

(b) 가정에 따라 아래를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

$$\forall n >N \quad \Rightarrow \bigg| \frac{a_n}{b_n}-0\bigg|<1$$

$$-1< \frac{a_n}{b_n}< 1$$

따라서 $\forall n>max\{K,N\}$

$$0<a_n <b_n$$이다.

비교 판정에 따라 성립한다.

(b) 가정에 따라 아래를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

$$\forall n >N \quad \Rightarrow  \frac{a_n}{b_n}>1$$

따라서 $\forall n>max\{K,N\}$

$$a_n >b_n>0$$이다.

비교 판정에 따라 성립한다.

$\blacksquare$