제2종 타원적분

매개변수 방정식으로 표현된 곡선은 호의 길이를 아래와 같이 구할 수 있다.

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$$

이것으로 타원 호의 길이를 구해보자.

먼저 타원의 방정식을 매개변수 방정식으로 고쳐보자.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

$$x(t)=a\sin t \quad y(t)=b\cos t\quad 0\leq t\leq 2\pi,\quad a>b>0$$

$$\begin{split}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2&=a^2 \cos^2 t+b^2\sin^2 t\\&=a^2-(a^2-b^2)\sin^2 t\\&=a^2(1-e^2 \sin^2 t)\end{split}$$

여기서 $e=1-b^2/a^2$으로 오일러 상수가 아니라 이심률을 나타내는 상수이다.

$$P=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-e^2 \sin^2 t}dt$$

앞에서 정리한 이항급수를 써서 구하면 된다.

$$(1+x)^m=1+\sum_{k=1}^{\infty}\pmatrix{m\\k}x^k$$

$$\sqrt{1-e^2 \sin^2 t}=1-\frac{1}{2}e^2 \sin^2 t -\frac{1}{2\cdot 4}e^4\sin^4 t-\cdots\quad\quad|e\sin t| \leq e < 1 $$