표본평균의 분포
수학이야기/확률통계 2011. 6. 17. 13:15모집단의 어떤 특성을 나타내는 확률변수의 확률분포를 모집단분포라 하고, 그 확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라고 한다.
한편, 어떤 모집단에서 크기가 n인 표본 X1,X2,X3,⋯,Xn을 임의추출하였을 때,
ˉX=1n(X1+X2+X3+⋯+Xn)
S2=1n−1(X1−ˉX)2+(X2−ˉX)2+⋯+(Xn−ˉX)2
을 각각 표본평균, 표본분산이라 하고, S(≥0)를 표본표준편차라고 한다.
모집단의 특성을 추출한 표본으로 알아내기 위해선 모집단과 표본 사이의 관계를 알아야 한다. 그를 위해 표본평균(ˉX)의 분포가 어떤가를 알아내야 한다.
주머니 안에 1,2,3이 적힌 공이 각각 100 개씩 들어있을 때 크기가 n인 표본을 뽑아 모집단의 평균을 알아내고자 한다고 하자.
아래는 크기가 각각 1,2,3,4인 표본을 복원추출할 때, 표본평균의 분포를 적은 것이다. E(ˉX)와 V(ˉX)를 각각 구해보자.
ˉX |
1 |
2 |
3 |
계 |
P(X=ˉX) |
13 |
13 |
13 |
1 |
ˉX |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
계 |
P(X=ˉX) |
19 |
29 |
39 |
29 |
19 |
1 |
ˉX |
1 |
43 |
53 |
2 |
73 |
83 |
3 |
계 |
P(X=ˉX) |
127 |
327 |
627 |
727 |
627 |
327 |
127 |
1 |
ˉX |
1 |
54 |
64 |
74 |
2 |
94 |
104 |
114 |
3 |
계 |
P(X=ˉX) |
181 |
481 |
1081 |
1681 |
1981 |
1681 |
1081 |
481 |
181 |
1 |
일반적으로 다음과 같은 성질이 성립한다.
모평균 m, 모표준편차 σ인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 ˉX에 대하여 다음이 성립한다.
1. E(ˉX)=m,V(ˉX)=σ2n,σ(ˉX)=σ√n
2. 모집단이 정규분포를 따르면 n의 크기에 상관없이 ˉX는 정규분포 N(m,σ2n)을 따른다.
3. 모집단이 정규분포가 아니더라도 표본의 크기 n이 충분히 크면 ˉX는 정규분포 N(m,σ2n)에 가까워진다.
위 분포를 히스토그램으로 나타내면 아래와 같다. 표본의 크기가 클수록 모평균과 비슷한 평균을 가지는 표본을 뽑을 확률이 커짐을 볼 수 있다. 표본평균 ˉX와 표본평균의 평균 E(ˉX) 또는 표본분산(S2)과 표본평균의 분산(V(ˉX))을 혼동하는 일이 없도록 조심하자.
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