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표본평균의 분포::::수학과 사는 이야기

표본평균의 분포

수학이야기/확률통계 2011. 6. 17. 13:15
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모집단의 어떤 특성을 나타내는 확률변수의 확률분포를 모집단분포라 하고, 그 확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라고 한다.

한편, 어떤 모집단에서 크기가 n인 표본 X1,X2,X3,,Xn을 임의추출하였을 때,

ˉX=1n(X1+X2+X3++Xn)

S2=1n1(X1ˉX)2+(X2ˉX)2++(XnˉX)2

을 각각 표본평균, 표본분산이라 하고, S(0)표본표준편차라고 한다.

모집단의 특성을 추출한 표본으로 알아내기 위해선 모집단과 표본 사이의 관계를 알아야 한다. 그를 위해 표본평균(ˉX)의 분포가 어떤가를 알아내야 한다.

주머니 안에 1,2,3이 적힌 공이 각각 100 개씩 들어있을 때 크기가  n인 표본을 뽑아 모집단의 평균을 알아내고자 한다고 하자.

아래는 크기가 각각 1,2,3,4인 표본을 복원추출할 때, 표본평균의 분포를 적은 것이다. E(ˉX)V(ˉX)를 각각 구해보자.

 ˉX

1

2

3

 계

 P(X=ˉX)

 13

  13

  13

1


  ˉX

 1

1.5

2

2.5

3

 계

  P(X=ˉX)

19

 29

 39

 29

 19

1


ˉX

1

43

53

2

73

83

3

 계

P(X=ˉX)

127

327

627

727

627

327

127

1


ˉX

1

54

64

74

2

94

104

114

3

P(X=ˉX)

181

481

1081

1681

1981

1681

1081

481

181

1

일반적으로 다음과 같은 성질이 성립한다.

모평균 m, 모표준편차 σ인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 ˉX에 대하여 다음이 성립한다.

1. E(ˉX)=m,V(ˉX)=σ2n,σ(ˉX)=σn

2. 모집단이 정규분포를 따르면 n의 크기에 상관없이 ˉX는 정규분포 N(m,σ2n)을 따른다.

3. 모집단이 정규분포가 아니더라도 표본의 크기 n이 충분히 크면 ˉX는 정규분포 N(m,σ2n)에 가까워진다.

위 분포를 히스토그램으로 나타내면 아래와 같다. 표본의 크기가 클수록 모평균과 비슷한 평균을 가지는 표본을 뽑을 확률이 커짐을 볼 수 있다. 표본평균 ˉX와 표본평균의 평균 E(ˉX) 또는 표본분산(S2)과 표본평균의 분산(V(ˉX))을 혼동하는 일이 없도록 조심하자.




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