수학과 사는 이야기

고등학교는 중학교와 달리 $x$의 값의 범위가 주어진 경우를 다룬다. 최대, 최소를 구하려면 먼저 완전제곱식을 써서 이차함수 $y=ax^2 +bx+c$를 $y=a(x-p)^2 +q$꼴로 고쳐야 한다. 편의상 일반형을 표준형으로 고친다고 하자.포물선의 꼭짓점 찾기굳이 외울 필요는 없지만 두 식을 비교하면 아래와 같은 관계를 쉽게 확인할 수 있다. $$p=- \frac{b}{2a}\tag{1}$$$$q=-\frac{b^2 -4ac}{4a}=-\frac{D}{4a}\tag{2}$$근의 공식과 비교하여도 쉽게 확인할 수 있다. $a(x-p)^2 +q=0$에서 $\displaystyle{(x-p)^2=-\frac{q}{a}}$이므로 $$x=p\pm\sqrt{-\frac{q}{a}}$$$p$의 값만 알면 대체로 쉽..

고등학교 공통수학은 다항식의 연산으로 시작한다. 어찌 보면 참으로 재미없는 단원이다. 덧셈과 뺄셈은 어려움이 없지만 곱셈은 공식을 외우지 않으면 안 된다. 단순하게 외워도 되지만 서로 관계를 살펴보면 좋다.$$(a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca\tag{1}$$$$(a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 ,\,\,\,(a-b)^3 =a^3 -3a^2 b +3ab^2 -b^3 \tag{2}$$$$(a+b)(a^2 -ab+b^2)=a^3 +b^3,\,\,\,(a-b)(a^2 +ab+b^2)=a^3 -b^3 \tag{3}$$교과서엔 있는 위와 같은 공식에서 (2)는 아래와 같이 외우면 훨씬 좋다.$$(a+b)^3 =a^3 +b^3+3ab(a+b),\,\,\,(a-..

이차방정식 $x^2 -4x+4=0$의 근을 구해보자.$$(x-2)(x-2) =0$$$$x=2\quad \text{또는}\quad x=2$$$$x=2$$이처럼 이차방정식의 두 근이 같다면 중근이라고 한다. 중근은 근이 겹쳐졌다고 이해해야 한다. 영어로는 multiple root이다. 근이 하나라고 하지 않고 중근을 가진다고 말하는 점에 주목하자. 중근을 근이 둘인 것으로 생각해야 훗날 배우는 '근과 계수와의 관계'를 공부할 때도 혼란스럽지 않다. 또한 이차방정식이 '서로 다른 두 실근을 가진다.'와 '두 실근을 가진다.'를 명확하게 구별해야 한다. 중학교 3학년에서 배우는 근의 공식은 아래와 같다.이차방정식 $ax^2 +bx+c=0,\;\;(a\not=0)$의 근은 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b..

근의 공식에 나오는 판별식으로 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를  해석해 보자.$x$에 대한 방정식은 $x$의 값에 따라 참과 거짓이 결정되는 등식이다. 따라서 방정식은 항상 $P(x)=0$꼴로 정리할 수 있다.$x$의 값에 따라 $y$의 값이 하나씩 잘 정해지면 $y$는 $x$의 함수라고 한다. 따라서 문자가 최소 둘이라야 한다. 보통 $y=f(x)$꼴로 정리할 수 있다.이차방정식은 이차함수에서 $y=0$일 때를 의미한다. 따라서 이차방정식의 근은 포물선 $y=ax^2+bx+c$와 $x$축인 $y=0$이 만나는 점으로 해석할 수 있다.판별식 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 아래와 같이 해석하면 된다.포물선이 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 서로 다른 두 ..